오일러의 소수생성다항식 x²+x+41

간단한 소개

• \(x^2+x+41\)는 정수 \(0 \le x \le 39\) 일때, 모두 소수가 된다!!!
• 비슷한 예로, 아래는 정수 \(0\le x\le q-2\) 일 때, \(x^2+x+q\)가 모두 소수인 경우
• \(x^2+x+2\), \(x^2+x+3\), \(x^2+x+5\), \(x^2+x+11\), \(x^2+x+17\)
• 이 성질은 이차수체의 class number 개념을 사용하여 설명할 수 있다. 위의 다항식의 근으로 생성되는, 이차수체는 모두 class number가 1이 된다.
• \(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax1-QINU`"'\) ,\(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax2-QINU`"'\), \(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax3-QINU`"'\), \(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax4-QINU`"'\), \(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax5-QINU`"'\) ,\(\mathbb{Z}'"`UNIQ-MathJax6-QINU`"'\)가 모두 UFD 라는 사실과 동치이다.
   
  

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 추상대수학
  
  • UFD

 

관련된 대학원 과목

• 대수적수론

 

관련된 다른 주제들

• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• Binary integral quadratic forms and Gauss' class number one problem

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication 
  
  • David A. Cox
• Advanced Number Theory
  
  • Harvey Cohn

참고할만한 자료

• An Elementary Analysis of an Integral Quadratic Form
  
  • William Edward Christilles
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 2 (Feb., 1961), pp. 138-143

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number