원분체의 데데킨트 제타함수

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 5월 2일 (수) 04:45 판
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개요
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 쌍대군  \(\hat{G}\)을 정의
  • \(\hat{G}\)의 원소는 모두 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character 로부터 얻어진다.
  • 이 디리클레 character 의 집합을 \(\tilde{G}\)라 하자

(정리)

\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\)

 

(따름정리)

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

 

예
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우 \(d_K=-3\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
      \(\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\)
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
      \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우 \(d_K=-4\)
    • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
    • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
      \(\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\)
    • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
    • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
    • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
      \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)

 

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