정칠각형

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 11월 26일 (금) 10:04 판
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개요

 

 

정칠각형 꼭지점의 평면좌표
  • 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
  • 방정식 \(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)
    은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
     
  • 양변을 \(z^3\)으로 나누면, \(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^3+y^2-2y-1=0\)3차 방정식의 근의 공식

 

\(y=2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7},2\cos\frac{6\pi}{7}\)

\(z^2-yz+1=0\)

\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)

 

을 얻게 됨. 

 

  • 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는  로 주어짐.

 

 

 

정칠각형의 대각선의 길이
  • 한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐
    \(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}\) , \(i=0,1,\cdots,5\)
    여기서 \(r_0=1\), \(r_5=1\)
    [/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]
  • 제2종 체비셰프 다항식
  • 다양한 항등식
    \(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4\)
    \(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, k\leq h\leq 2\)
    \(r_0r_0=r_0\)
    \(r_1r_0=r_1\)
    \(r_1r_1=r_0+r_2\)
    \(r_2r_0=r_0+r_2\)
    \(r_2r_1=r_1+r_3\)
    \(r_2r_2=r_0+r_2+r_4\)

(증명)

\(\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\) ■

 

 

 

다이로그 항등식

\(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)

\(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)

\(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\)

방정식 \(x^3+x^2-2x-1=0\)의 해라고 하자.

-1-\alpha

1-\beta

-1+\gamma^{-1}

 

 

 

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