정칠각형

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정칠각형

개요

http://www.wolframalpha.com/input/?i=regular+heptagon+inscribed+in+a+unit+circle

정칠각형 꼭지점의 평면좌표

정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
방정식 $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$
은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
양변을 $z^3$으로 나누면, $z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0$ 을 얻게됨.

$y=z+\frac{1}{z}$ 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

$z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0$

3차 방정식의 근의 공식을 이용하여 방정식을 풀면,

$y^3+y^2-2y-1=0$

$y_1= \frac{1}{3} \left(-1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)(=2\cos\frac{2\pi}{7})$

$y_2=-\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} i \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)} \left(\sqrt{3}+i\right)(=2\cos\frac{4\pi}{7})$

$y_3=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{i 7^{2/3} \left(\sqrt{3}+i\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{1+3 i \sqrt{3}}}(=2\cos\frac{6\pi}{7})$

$z^2-yz+1=0$

$z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}$

을 얻게 됨.

복소평면상에서 $z$ 의 $x$ 좌표는 로 주어짐.

정칠각형의 대각선의 길이

한 변의 길이가 1인 정칠각형의 대각선의 길이 $r_i$는 $i=0,1,\cdots,5$에 대하여 다음과 같이 주어짐 \[r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}\] * 이 때 $r_0=1$, $r_5=1$
[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]
제2종 체비셰프 다항식
대각선이 만족시키는 다양한 항등식
$r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, 0\leq k\leq h\leq 2$
$r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq 4$
$r_0r_0=r_0$
$r_1r_0=r_1$
$r_1r_1=r_0+r_2$
$r_2r_0=r_2$
$r_2r_1=r_1+r_3$
$r_2r_2=r_0+r_2+r_4$

$r_1$은 $x^3-x^2-2x+1=0$ 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%282pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29

(증명)

$r_1r_1=r_0+r_2$

$r_2r_1=r_1+r_3=r_1+r_2$■

$r_2$은 $x^3-2x^2-x+1=0$ 의 해이다 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%283pi%2F7%29%2Fsin%28pi%2F7%29%29

(증명)

$r_1r_1=r_0+r_2$

$r_2r_2=r_0+r_2+r_4=r_0+r_2+r_1$ ■

다이로그 항등식

다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
$\alpha=\frac{\sec\frac{2\pi}{7}}{2}=0.80194\cdots$
$\beta=\frac{\sec\frac{\pi}{7}}{2}=0.554958\cdots$
$\gamma=2\cos\frac{3\pi}{7}=0.445042\cdots$
$7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0$
$7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0$
$7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0$
$\sum_{i=1}^{5}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{7}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{7}}\right)=\frac{5\pi^2}{14}$

방정식 $x^3+2x^2-x-1=0$ 의 해 $\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}$

방정식 $x^3+x^2-2x-1=0$의 해 $a,b,c$

$a=2\cos\frac{2\pi}{7}=\alpha^{-1}=1.24698\cdots$, $b=2\cos\frac{4\pi}{7}=-\gamma=-0.445042\cdots$,$c=2\cos\frac{6\pi}{7}=-\beta^{-1}=-1.80194\cdots$

k=3인 경우의 앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)
$1-x_{1}=x_{1}^{4}x_{2}^{2}$
$1-x_{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}$를 풀면,
$x_{2}=1-\frac{1-x_{1}}{x_{1}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{1}-1}{x_{1}^{2}}$
$1-x_{1}=(x_{1}^{2}+x_{1}-1)^{2}$ 따라서 $x_1$은 $x (x^3+2 x^2-x-1)=0$의 해가 된다

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

정칠각형

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정칠각형 꼭지점의 평면좌표

정칠각형의 대각선의 길이

다이로그 항등식

재미있는 사실

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