타니야마-시무라 추측(정리)

수학노트
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개요
  • 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계

 

 

Weil의 역 정리

 

 

 

 

예1. 타원곡선  \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
  • 타원곡선
    \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
    conductor = 11
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots\)
  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음
    \(\begin{array}{ccc} p & {a_p} & c_p} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \)

 

 

예2. 타원곡선  \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
  • 타원곡선
    \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
    conductor = 20
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots\)
  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
    \( \begin{array}{ccc} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \)

 

 

예3
  • 타원곡선 
    \(y^2=x^3-x\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)

 

 

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관련논문

 

 

  1. (*table of primes*)
    Pr := Table[Prime[n], {n, 1, 20}]
    (*elliptic curve*)
    g[x_] := x^3 -  x
    (*factorization of the discriminant & bad primes*)
    FactorInteger[Discriminant[g[x], x]]
    (*number of solution y^2=g[x] modulo p, Hasse-Weil esimate*)
    M[p_] := \!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(p - 1\)]\((1 +<br>     JacobiSymbol[Mod[g[i], p], p])\)\)
    (*error term of Hasse-Weil esimates*)
    (* this is in fact, same as  \!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(p - 1\)]\((JacobiSymbol[<br>   Mod[g[i], p], p])\)\) *)
    A[p_] := p - M[p]
    (*modular form*)
    f[q_] := Series[q*\!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(n = 1\), \(\[Infinity]\)]\((<br> \*SuperscriptBox[\((1 - q^\((4  n)\))\), \(2\)]*
    \*SuperscriptBox[\((1 - q^\((8  n)\))\), \(2\)])\)\), {q, 0, 1000}]
    (*the coefficients of modular form f[q]*)
    n[p_] := SeriesCoefficient[f[q], p]
    c5 = {a_p, c_p};
    TableForm[Table[{ A[p], n[p]}, {p, Pr}] , TableHeadings -> {Pr, c5}]

 

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