펠 방정식(Pell's equation)

개요

\(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠 방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때 \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 한다.

(정리)

펠 방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.

(증명)

연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다

무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\)

이 정리를 이용하자.

펠 방정식의 정수해 \(x_ {1}^2-dy_ {1}^2=1\) 는 \(x_ {1}^2-dy_ {1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\)를 만족시키므로,

\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|}\)

\(|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_ {1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_ {1}^{2}}\)

따라서, 펠 방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. \[FilledSquare]

\(\sqrt{7}\)의 연분수 전개를 통한 유리수근사
\(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\)
펠 방정식의 해 찾기
\(2^2-d\cdot 1^2=-3\)
\(3^2-d\cdot 1^2=2\)
\(5^2-d\cdot 2^2=-3\)
\(8^2-d\cdot 3^2=1\)
\(37^2-d\cdot 14^2=-3\)
따라서 펠 방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다