포드 원 (Ford Circles)

개요

\(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
- \(y=0\)에 접함

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)

\(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- \(\frac35 , \frac23\) \(\frac35 , \frac58\) \(\frac58, \frac23\) \(\frac58, \frac{7}{11}\) ...
- \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- \(\frac35, \frac58 , \frac23\) \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\) \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\) \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
- 뭔가 발견했는가?

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

서로 접하는 세 원의 중심의 \(x\) 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?

Proof.

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(P/Q\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \(\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}\) 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )

여기서,

i. \(|Pq -pQ|> 1\) 이면, \(\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. \(|Pq -pQ|= 1\) 이면, \(\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}\) 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)

iii. \(|Pq -pQ| <1\) 일 수는 없다.

왜냐하면, \(p,q, P, Q\) 는 자연수이므로 \(Pq -pQ = 0\) 이면, \(p/q \ne P/Q\) 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.

2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계

\(x\) 좌표가 \(p/q\) 인 포드 원을 \(C[p/q]\) 라고 쓰자.

접하는 두 포드 원 \(C[b/a]\) 과 \(C[d/c]\) 가 있으면, \(|ad - bc| = 1\) 이다.

Proof.

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.

3. Farey Series 와의 관계