완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)

개요

• 대칭다항식의 예

예

• 변수가 2개인 경우의 완전 동차 대칭 다항식은 다음과 같이 주어진다

$$ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2\right) & x_1+x_2 \\ h_2\left(x_1,x_2\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_2^2 \\ h_3\left(x_1,x_2\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_2^2 x_1+x_2^3 \\ h_4\left(x_1,x_2\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_2^3 x_1+x_2^4 \\ h_5\left(x_1,x_2\right) & x_1^5+x_2 x_1^4+x_2^2 x_1^3+x_2^3 x_1^2+x_2^4 x_1+x_2^5 \end{array} \right) $$

• 변수가 3개인 경우의 완전 동차 대칭 다항식은 다음과 같이 주어진다

$$ \left( \begin{array}{cc} h_0\left(x_1,x_2,x_3\right) & 1 \\ h_1\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1+x_2+x_3 \\ h_2\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^2+x_2 x_1+x_3 x_1+x_2^2+x_3^2+x_2 x_3 \\ h_3\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^3+x_2 x_1^2+x_3 x_1^2+x_2^2 x_1+x_3^2 x_1+x_2 x_3 x_1+x_2^3+x_3^3+x_2 x_3^2+x_2^2 x_3 \\ h_4\left(x_1,x_2,x_3\right) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \end{array} \right) $$

슈르 다항식

• 슈르 다항식(Schur polynomial) $s_{\lambda}$에 대하여 $s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$이 성립한다
• 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

메모

• http://mathoverflow.net/questions/98043/is-complete-homogeneous-symmetric-polynomials-an-irreducibile-element-in-polynom

관련된 항목들

• 슈르 다항식(Schur polynomial)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYU1ZTko2dGxYS1U/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/6611/any-efficient-way-to-make-complete-homogeneous-symmetric-functions-in-mathematic

수학용어번역

• 완전, 완비, complete - 대한수학회 수학용어집