리대수 g2의 유한차원 표현론
개요
- 복소수체 위의 14차원 리대수
- $G_2$ 타입의 단순 리대수
리대수 $\mathfrak{g}_2$
- $G_2$ 카르탄 행렬
$$ \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{array} \right) $$
- $G_2$ 루트 시스템
\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,3 \alpha _1+\alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _1+\alpha _2,3 \alpha _1+2 \alpha _2\\,-\alpha _1,-\alpha _2,-3 \alpha _1-\alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2,-2 \alpha _1-\alpha _2,-3 \alpha _1-2 \alpha _2\right\} \]
- 바일군, 크기 12인 유한반사군
$$ \{s[],s[1],s[2],s[1,2],s[2,1],s[1,2,1],s[2,1,2],s[1,2,1,2],s[2,1,2,1],s[1,2,1,2,1],s[2,1,2,1,2],s[1,2,1,2,1,2]\} $$
- \(G_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,0)\)
- \(\alpha_2=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)
- fundamental weights
- $\omega_1=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
- $\omega_2=(0,\sqrt{3})$
- 바일 벡터 \(\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)\)
유한차원 기약 표현의 분류
- 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다
$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) $$
기약표현의 예
- 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$
- $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]$의 원소가 된다
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조
예1
- fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
- 7차원 표현
- 지표
$$ \chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} $$
- weight diagram
예2
- adjoint 표현, highest weight은 $\omega_2$
- 14차원 표현
- 지표
$$ \chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} $$
- weight diagram
예3
- highest weight $\omega_1+\omega_2$
- 64차원 표현
- weight diagram
관련된 항목들