리대수 g2의 유한차원 표현론

수학노트
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개요

  • 복소수체 위의 14차원 리대수
  • $G_2$ 타입의 단순 리대수


리대수 $\mathfrak{g}_2$

  • $G_2$ 카르탄 행렬

$$ \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

  • $G_2$ 루트 시스템

\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,3 \alpha _1+\alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _1+\alpha _2,3 \alpha _1+2 \alpha _2\\,-\alpha _1,-\alpha _2,-3 \alpha _1-\alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2,-2 \alpha _1-\alpha _2,-3 \alpha _1-2 \alpha _2\right\} \]

  • 바일군, 크기 12인 유한반사군

$$ \{s[],s[1],s[2],s[1,2],s[2,1],s[1,2,1],s[2,1,2],s[1,2,1,2],s[2,1,2,1],s[1,2,1,2,1],s[2,1,2,1,2],s[1,2,1,2,1,2]\} $$

  • \(G_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,0)\)
    • \(\alpha_2=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)

리대수 g21.png

  • fundamental weights
    • $\omega_1=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
    • $\omega_2=(0,\sqrt{3})$
  • 바일 벡터 \(\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)\)


유한차원 기약 표현의 분류

  • 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
  • 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) $$

기약표현의 예

  • 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$

예1

  • fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
  • 7차원 표현
  • 지표

$$ \chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} $$

  • weight diagram

리대수 g22.png


예2

  • adjoint 표현, highest weight은 $\omega_2$
  • 14차원 표현
  • 지표

$$ \chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} $$

  • weight diagram

리대수 g23.png


예3

  • highest weight $\omega_1+\omega_2$
  • 64차원 표현
  • weight diagram

리대수 g24.png


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매스매티카 파일 및 계산 리소스


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