2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

개요

루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]

정수로 이루어진 수열 $\{p_n\},\{q_n\}$를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=p_n+\sqrt{2}q_n, n=0,1,\cdots\]
이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
- $p_{n+1}=p_n+2 q_n$, $p_0=1$
- $q_{n+1}=p_n+q_n$, $q_0=0$
처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
- $p_n$ 1,1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
- $q_n$ 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
다음의 성질을 만족한다
- $p_n/q_n$는 루트 2로 수렴한다
- $p_n/q_n$는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
- $p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n}$
- $ \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n} $
- $\{p_n\},\{q_n\}$ 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
  - $p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=1$
  - $q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=0, q_1=1$