포드 원 (Ford Circles)

개요

$p,q$가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 $(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})$ 이고, 반지름이 $\frac{1}{2q^2}$인 원을 포드 원이라 함
- $y=0$에 접함

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 $x$ 좌표이다.)

$p,q$가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 $x$ 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
- $\frac35 , \frac23$ $\frac35 , \frac58$ $\frac58, \frac23$ $\frac58, \frac{7}{11}$ ...
- $10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1$
서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
- $\frac35, \frac58 , \frac23$ $\frac35, \frac{8}{13} , \frac58$ $\frac58, \frac{7}{11} , \frac23$ $\frac47, \frac{7}{12} , \frac35$
- 뭔가 발견했는가?

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

서로 접하는 세 원의 중심의 $x$ 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?

관찰의 증명

정리

두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.

증명

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 $x$ 좌표가 $p/q$ 인 원이고, 원 B 는 중심의 $x$ 좌표가 $P/Q$ 인 원이다. ($p,q, P, Q$ 는 자연수, $gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1$)

위 그림에서, 점 $A$ 에서 선분 $\overline{BG}$ 위에 내린 발을 $C$ 라 하자. 그러면 삼각형 $\triangle ACB$ 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

$\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2$ 이다. 포드 원의 정의에서 $A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )$ 이므로, 다음이 성립한다 $$ \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} $$

여기서,

i. $|Pq -pQ|> 1$ 이면, $\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}$ 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. $|Pq -pQ|= 1$ 이면, $\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}$ 이므로, 두 원은 접한다.

iii. $|Pq -pQ| <1$ 일 수는 없다.

왜냐하면, $p,q, P, Q$ 는 자연수이므로 $Pq -pQ = 0$ 이면, $p/q \ne P/Q$ 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■

정리

$x$ 좌표가 $p/q$ 인 포드 원을 $C[p/q]$ 라고 쓰자. 두 포드 원 $C[b/a]$ 과 $C[d/c]$이 접하면, $|ad - bc| = 1$ 이 성립한다.

증명

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■

3. Farey Series 와의 관계

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circles

리뷰, 에세이, 강의노트

Ford_Circle.pdf, 애기똥풀
이광연, 바보셈에서 페리수열, 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일

포드 원 (Ford Circles)

목차

개요

관찰

관찰의 증명

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

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