전달행렬 (transfer matrix)

개요

• 볼츠만 가중치(Boltzmann weights)를 성분으로 갖는 행렬
• 모노드로미 행렬(monodromy matrix)의 대각합으로 주어짐
• 분배함수는 전달행렬의 거듭제곱의 대각합으로 표현되며, 따라서 전달행렬의 고유벡터와 고유값을 구하는 문제가 중요해진다

정의

• 스핀 \(s_i, i=1,\cdots, N\)과 주기조건 \(s_{N+1}=s_1\)을 가정
• 스핀 \(s_i\)과 \(s_{i+1}\)의 상호작용 \(E(s_i,s_{i+1})\)
• 해밀토니안이 \(H=\sum_{i=1}^{N} E(s_i,s_{i+1})\) 꼴로 쓰여지는 경우
• 전달행렬은 \(T_{s_i,s_{i+1}}=\exp(-\beta E(s_i,s_{i+1}))\) 꼴로 쓸 수 있으며, 분배함수는 다음과 같이 주어진다

\[ Z_N=\sum_{s_1,\cdots,s_N}T_{s_1,s_2}\cdots,T_{s_N,s_1}=\operatorname{Tr} T^N \]

• 자유에너지(per site) 는 다음과 같다

\[ F=-\frac{1}{\beta}\lim_{N\to \infty}\frac{\ln \Lambda_0^N}{N}=-\frac{1}{\beta}\ln \Lambda_0, \] 또는 \[ F=-k T \ln \Lambda_0, \] 이 때 \(\Lambda_0\)는 \(T\)의 최대인 고유값

예

• 1차원 이징 모형(Ising model)
• 2차원 이징 모형 (사각 격자)
• 응집 전이의 분배함수 증명