히포크라테스의 초승달

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2020년 12월 28일 (월) 03:13 판
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작도와 구적가능성

  • 구적이란 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것.
  • 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
  • 작도문제와 구적가능성 에서 간략하게 소개되어 있음



히포크라테스의 초승달

  • 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남김.

2981558-hippocrates.jpg

정리

어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

  • 이 사실의 증명은 피타고라스의 정리를 사용



구적가능한 초승달

  • 초승달이란 두 원의 호 (arc)로 둘러싸인 영역을 의미
  • 두 부채꼴의 중심각의 비율을 u라 두면, 초승달은 다음의 다섯 가지 경우에만 구적가능

\[ u=3/2,5/3,2,3,5 \]

  • 이는 다음의 방정식을 풀어 얻어지는 \(\sin \theta\)가 작도가능하다는 조건으로부터 얻어진다

\[ \left(\frac{\sin u\theta}{\sin \theta}\right)^2=u \]

  • 아래의 그림에서 작은 원의 반지름은 1로 고정함

\(u=3/2\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(9-\sqrt{33}\right)} = 0.552447\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[160.874^{\circ}, 107.25^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달1.png


\(u=5/3\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{6} \sqrt{25-5 \sqrt{25-6 \sqrt{15}}} = 0.714197\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[167.939^{\circ}, 100.764^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달2.png


\(u=2\)

  • 초승달의 넓이\[1\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[180^{\circ}, 90^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달3.png


\(u=3\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}} = 1.61185\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[205.588^{\circ}, 68.5293^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달4.png


\(u=5\)

  • 초승달의 넓이\[\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} \left(-5+\sqrt{25+64 \sqrt{5}}\right)} = 2.23126\cdots\]
  • 두 부채꼴의 각도 \[234.391^{\circ}, 46.8783^{\circ}\]

히포크라테스의 초승달5.png



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