푸리에 급수

개요

• 주어진 함수의 삼각함수를 이용한 급수표현
• 열방정식을 푸는 과정에서 푸리에가 발견

정의

• \(2\pi\)를 주기로 가지는 함수 \(f\)
• 푸리에 계수의 정의\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0\]\[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1\]
• 푸리에 급수\[f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]\]

예1

• \(f(x)=x\), \(-\pi < x < \pi\)\[f(x)\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\]
• \(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\),\(0 < x \leq \pi\)\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin n x\]
• \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)\[f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\]

예2

• 로바체프스키와 클라우센 함수\[0 \leq \theta \leq 2\pi\] 일때,\(Cl_2(\theta)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\sin n\theta\)

• 로그감마 함수\[\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx\]

역사

• 수학사 연표

메모

\(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{inx}\, dx\)

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}\)

관련된 항목들

• 편미분방정식
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourierseries+of+x
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourier+sine+series+of+x

메타데이터

위키데이터

• ID : Q179467