다이로그 함수(dilogarithm)

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Dilogarithm 함수

개요

폴리로그 함수의 하나인 special 함수이다.
정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다
Pochhammer 기호 \((q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\) 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다

정의

다이로그 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능
\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)

함수의 그래프

[/pages/3321277/attachments/3093357 dilogarithm.jpg]

단위원에서의 실수부와 허수부

\(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일 때,
\(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
\(\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\)
\(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)
로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

여러가지 항등식

오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_2 \left(x \right)+\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\), \(0<x<1\)

반전공식
\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)\)
란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)\) 또는

\(\mbox{Li}_2(1-x)+\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)\)

여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음
\(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
사영기하학과 교차비, Bloch-Wigner dilogarithm 항목들을 참조

곱셈공식

제곱공식
\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\)
\(\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)=\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x)\)
일반적인 곱셈공식
\(\frac{1}{n} \operatorname{Li}_2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_2\left(e^{2\pi i k/n}z\right)\)
실수부와 허수부에 대한 덧셈공식
\(f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\)
\(Cl_2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
다음 덧셈공식을 만족시킴
\(f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)
\(Cl_2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_2(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

로바체프스키와 클라우센 함수의 덧셈공식 참조

5항 항등식 (5-term relation)

5항 항등식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.
\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)
Bloch-Wigner dilogarithm

Special values

다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

구체적인 계산은 다이로그 함수의 special value 계산 항목 참조
황금비

다이로그 항등식

다이로그 함수를 약간 변형한 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) \(L(x)\)
대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식
\(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\)
다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

재미있는 사실

Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

역사

수학용어번역

사전 형태의 자료

블로그

[오늘의계산080810]오늘의 계산 12
- 수학 잡담/오늘의 계산, 2008/08/10

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