가해군(solvable group)

개요

유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}\) (2) \(G_i/G_{i+1}\)는 순환군

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

\(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(K\)에 대하여  \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다.

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

\(F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K\)

자연수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)

이 체확장의 타워로부터 \(G=\text{Gal}(K/F)\)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

\(G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}\)

\(G_i=\text{Gal}(K/F_{i})\)로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

\(G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}\)

따라서 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다. ■