가해군(solvable group)

정의

• 부분군으로 이루어진 타워:<math>G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots G_m</math>

• 유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) <math>G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}</math> (2) <math>G_i/G_{i+1}</math>는 순환군

거듭제곱근 체확장과의 관계

• 5차방정식과 근의 공식 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

<math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>K</math>에 대하여  <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. 

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

<math>F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K</math>

자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>

이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

<math>G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}</math>

<math>G_i=\text{Gal}(K/F_{i})</math>로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

<math>G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}</math>

따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. ■

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 순환 체확장(cyclic extension)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/solvable_group

메타데이터

위키데이터

• ID : Q759832

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'solvable'}, {'LEMMA': 'group'}]