"가해군(solvable group)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

정의

부분군으로 이루어진 타워\[G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots G_m\]

유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}\) (2) \(G_i/G_{i+1}\)는 순환군

거듭제곱근 체확장과의 관계

5차방정식과 근의 공식 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

\(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(K\)에 대하여  \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다.

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

\(F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K\)

자연수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)

이 체확장의 타워로부터 \(G=\text{Gal}(K/F)\)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

\(G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}\)

\(G_i=\text{Gal}(K/F_{i})\)로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

\(G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}\)

따라서 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다. ■

역사

메모

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q759832

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'solvable'}, {'LEMMA': 'group'}]

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 ==개요==
-* <br><br>
+*
 ==정의==
-*  부분군으로 이루어진 타워:<math>G=G_0 \supset G_1  \supset G_2  \supset \cdots G_m</math><br>
+*  부분군으로 이루어진 타워:<math>G=G_0 \supset G_1  \supset G_2  \supset \cdots G_m</math>
-*  유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다<br> (1) <math>G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}</math><br> (2) <math>G_i/G_{i+1}</math>는 [[순환군]]<br>
+*  유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다 (1) <math>G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}</math> (2) <math>G_i/G_{i+1}</math>는 [[순환군]]
 ==거듭제곱근 체확장과의 관계==
-* [[5차방정식과 근의 공식]] 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리<br>
+* [[5차방정식과 근의 공식]] 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리
 (정리)
-체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.
+체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.
- <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>K</math>에 대하여  <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다.
+ <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>K</math>에 대하여  <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다.
 (증명)
-[[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
+[[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
 <math>F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K</math>
-자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>
+자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>
-이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
+이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
 <math>G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1})  \supset \text{Gal}(K/F_{2})  \supset \cdots  \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}</math>
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 <math>G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}</math>
-따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. ■
+따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. ■
-==재미있는 사실==
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 ==역사==
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
-*
 ==메모==
 ==관련된 항목들==
-* [[순환 체확장(cyclic extension)]]<br>
+* [[순환 체확장(cyclic extension)]]
-==수학용어번역==
-* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
+==사전 형태의 자료==
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/solvable_group
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
+[[분류:군론]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q759832 Q759832]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'solvable'}, {'LEMMA': 'group'}]
-==블로그==
-[[분류:군론]]