구면모형(spherical model)

수학노트
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개요

처음에는 spherical model을 '구모형'으로 옮길까 하다가 물리용어조정안을 찾아보니 '구면모형'으로 부르더군요. 생각해보니 이게 맞습니다. 이 글에서는 패쓰리아의 책 12.4절의 구면모형을 다루고자 합니다.

스핀이 +1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖는 이징 모형을 일반화하려는 시도가 꾸준히 있었는데요, 그러한 시도 중 하나가 캐츠(Mark Kac)의 가우스 모형(Gaussian model)입니다. 각 스핀은 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 값을 갖되 가우스 확률분포를 따르도록 하는 겁니다. 그러면 정확한 해를 2차원까지밖에 모르는 이징 모형에 비해 임의의 차원에서 정확한 해를 구할 수 있다고 합니다. 다만 2보다 큰 차원에서는 잘 맞지만, 2 이하의 차원에서는 분배함수의 적분이 발산해버린다고 합니다.

이렇게 발산하는 문제를 해결하기 위해 스핀들의 제곱의 총합이 제한되는 제약조건을 추가했다고 하네요. \[\sum_{i=1}^N \sigma_i^2=N\]

이 조건을 머리 속에 그려보면, N개의 σi가 N차원 수퍼스핀의 각 성분이라고 생각할 수 있습니다. 이 수퍼스핀의 크기는 N의 제곱근이고요. 다시 말해서 이 수퍼스핀은 반지름이 N1/2인 N차원 초구의 표면 위의 한 점을 가리킨다고 할 수 있습니다. 그래서 구면모형이라 불립니다.

그런데 각 스핀에 대해서는 정준 앙상블(canonical ensemble; 바른틀 모둠) 평균을 쓰면서도 수퍼스핀에 대해서는 소정준 앙상블(microcanonical ensemble; 작은 바름틀 모둠) 평균을 쓰는 문제(?)가 있다고 하네요. 수퍼스핀에 대해서도 정준 앙상블을 쓰고자 위의 제약조건을 다음처럼 바꿀 수 있습니다. \[\left\langle \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 \right\rangle =N\]

꺽쇠는 정준 앙상블 평균을 뜻합니다. 이걸 '평균 구면모형(mean spherical model)'이라 부릅니다. 굳이 풀어보자면 수퍼스핀이 구면을 벗어나기도 하지만 평균적으로 구면 위에 있다는 거겠죠.


해밀토니안과 분배함수

이 제약조건을 고려하여 해밀토니안을 써보겠습니다. \[H=-J\sum_{n.n.}\sigma_i\sigma_j-\mu B\sum_i\sigma_i+\lambda\sum_i \sigma_i^2\]

우변의 첫번째 합에서 n.n.은 nearest neighbor의 준말인데, 이웃한 스핀에 대해서만 더해주라는 말입니다. 여기서 λ를 구면 장(spherical field)이라 부른답니다. 위의 제약조건은 이제 다음처럼 쓸 수 있습니다. \[\left\langle \frac{\partial H}{\partial \lambda}\right\rangle=N\]

분배함수는... \[Z_N(K,h;\beta\lambda)=\int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-\beta\lambda\sum_i\sigma_i^2+K\sum_{n.n.}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i}\prod_id\sigma_i\]

가 됩니다. 여기서 K와 h는 각각 βJ, βμB입니다. 이제 이걸 가만 보면 N차원 가우시안 적분이 생각나시죠? 직접 대조해보면 어떻게 적용해야 하는지 눈에 보입니다. 가우스 변환은 아래와 같습니다. \[\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j}\sigma_iA_{ij}\sigma_j+\sum_i h_i\sigma_i}\prod_i d\sigma_i =\frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}e^{\frac{1}{2}\sum_{i,j}h_iA_{ij}^{-1}h_j}\]

우변을 보면 -βλ와 K로 이루어진 행렬의 고유값과 역행렬을 구해야만 한다는 게 보입니다. 1차원 격자 위에서 이 문제를 푼다고 하면 A는 다음과 같은 모양으로 나오겠죠. \[A=2 \begin{pmatrix} \beta\lambda & -K & 0 & \cdots & 0 \\ -K & \beta\lambda & -K & \cdots & 0 \\ 0 & -K & \beta\lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta\lambda \end{pmatrix}\]

이제 일반적인 d차원 단순사각격자(simple hypercubic lattice)를 생각하는데요, d차원 격자의 크기는 L1 × L2 × ... × Ld이며 주기경계조건을 씁니다. 행렬 A의 고유값을 μk라고 하면 분배함수가 다음처럼 나온답니다. (μ의 아래첨자 k는 d차원 벡터이고, a는 격자상수입니다.) \[Z_N(K,h;\beta\lambda)=\prod_k \left[\frac{\pi}{\beta(\lambda-\mu_k)}\right]^{1/2}e^{Nh^2/4\beta(\lambda-\mu_0)}\] \[\mu_k=J\sum_{j=1}^d\cos(k_ja),\ k_j=\frac{2\pi n_j}{L_j}\ (n_j=0,\cdots,N_j-1)\] \[N_j=L_j/a,\ N=\prod_jN_j\]

가장 간단한 경우, 즉 단 두 개의 스핀이 상호작용하는 시스템의 분배함수는 위 결과와 똑같지만, 여기서 구한 고유값이 위의 μk는 아닙니다. 이게 조금 다르지만 분배함수는 어쨌든 똑같이 나옵니다. 분배함수를 구했으니 이제 이걸 지지고 볶아서 다양한 물리량도 구해내고, 상전이도 보고, 임계지수도 구하는 일만(?) 남았네요.



사전 형태의 자료


관련논문

  • Berlin, T. H., and M. Kac. 1952. “The Spherical Model of a Ferromagnet.” Physical Review 86 (6) (June 15): 821–835. doi:10.1103/PhysRev.86.821.


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