군론(group theory)

개요

집합 <math>S</math>에서 자기자신으로 가는 모든(때로는 어떤 특정한 조건을더 만족시키는) 전단사함수(bijection or automorphism)들의 모임은 군을 이룸.
아래는 예
대칭군 (symmetric group) <math>S_n</math>
- 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임
- <math>n!</math> 개의 원소가 존재함
general linear group <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{F})</math>
- 벡터공간 <math>\mathbb F^2</math> 의 linear automorphism 들을 모두 모아 이루어진 군

군
부분군
- 군의 부분집합이며 그 자체로 군을 이루는 경우, 부분군이라 함.
준동형사상(homomorphism)
- 두 군 사이에 주어진 사상 <math>\rho \colon G \to G'</math>이, <math>G</math>의 임의의 두 원소 <math>g_1,g_2</math> 에 대하여, <math>\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2)</math> 를 만족시키면, 준동형사상이라 함.
- 군과 군 사이에 정의된 함수중에서 군의 구조를 보존하는 함수들
kernel
- homomorhism 이 있을때, 정의역의 원소 중 항등원으로 보내지는 녀석들을 모두 모으면 군을 이루는데 이를 homomorphism의 kernel 이라 함

V. D. Mazurov, E. I. Khukhro, Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebook. No. 18 (English version), arXiv:1401.0300[math.GR], January 01 2014, http://arxiv.org/abs/1401.0300v8