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==개요==
 
==개요==
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* 복소수 <math>A\in \mathbb{C}</math>에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다
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:<math>
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x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn}
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* <math>x_0=\alpha,x_1=\beta</math>와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 <math>\{x_n\}_{n\geq 0}</math>을 얻는다
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:<math>
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\alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha  \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha  \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots,
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</math>
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* <math>A\in \mathbb{R}_{>0}</math>일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
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* <math>A\in \mathbb{R}_{>0}</math>일 때, \ref{lyn}은 평면 <math>\mathbb{R}^2</math>에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다
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:<math>
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(x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x})
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* \ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다
  
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<math>x_{n+1}=\frac{k+x_{n}}{x_{n-1}}</math> 로 정의되는 수열
 
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<math>(k+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math> 는 불변량이다. 
 
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k=1 인 경우, 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
 
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==불변량==
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* 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 <math>\{x_n\}_{n\geq 0}</math>에 대하여, 다음은 <math>n\in \mathbb{Z}</math>에 의존하지 않는 불변량이다
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:<math>C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
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===평면에 정의된 변환===
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* <math>A>0</math>일 때, <math>\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2</math>를 다음과 같이 정의하자
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:<math>
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\phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x})
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</math>
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* 다음의 함수는 <math>\phi</math>에 대한 불변량이다
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:<math>
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V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq}
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</math>
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* \ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다
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[[파일:Lyness 차분방정식1.png]]
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* <math>\phi^{*}\omega=\omega</math>이 성립한다. 여기서
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:<math>
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\omega=\frac{dx\wedge dy}{x y}
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==역사==
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===타원 곡선===
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* 점 <math>(x_0,y_0)</math>가 곡선 <math>F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0</math>에 놓여 있는 경우, <math>(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})</math>도 <math>F(x,y)=0</math>에 놓여 있다
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* [[타원곡선]] <math>F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0</math>을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
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* <math>x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}</math>인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 <math>x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}</math>를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다
  
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
  
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==특수한 경우==
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===<math>A=1</math>===
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* 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
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:<math>
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\alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
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* [[콕세터 프리즈]]
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[[파일:콕세터 프리즈4.png]]
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===<math>A=0</math>===
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* 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다
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:<math>
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\alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
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</math>
  
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==메모==
 
==메모==
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* [[Pentagramma Mirificum]]
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* R. C. Lyness, Notes 1581, Math. Gaz. 26 (1942), 62.
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* http://www.jstor.org/stable/2324138
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* R. C. Lyness, Notes 1847, Math. Gaz. 29 (1945), 231.
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* We show that if <math>A \not= 1 </math> then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if <math>A < 1,</math> and decreasing if <math>A \gt 1.</math> Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* [[호프스태터의 나비]]
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
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* [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]
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* [[5항 관계식 (5-term relation)]]
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* [[콕세터 프리즈]]
  
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==수학용어번역==
 
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*  단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk
  
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
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==수학용어번역==
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* 발음사전 http://www.pronouncenames.com/search?name=lyness
  
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==사전 형태의 자료==
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://zakuski.utsa.edu/~gokhman/ecz/gu.html Geometric Unfolding of a Difference Equation] E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Hassan, Sk Sarif. “Dynamics of <math>z_{n+1}=\frac{\alpha + \alpha z_{n}+\beta z_{n-1}}{1+z_{n}}</math> in Complex Plane.” arXiv:1511.04363 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04363.
 +
* Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
 +
* Esch, J., and T. D. Rogers. 2001. “The Screensaver Map: Dynamics on Elliptic Curves Arising from Polygonal Folding.” Discrete & Computational Geometry. An International Journal of Mathematics and Computer Science 25 (3): 477–502. doi:10.1007/s004540010075.
 +
* Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation <math>u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a</math>.” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
 +
* Beukers, F., and R. Cushman. 1998. “Zeeman’s Monotonicity Conjecture.” Journal of Differential Equations 143 (1): 191–200. doi:10.1006/jdeq.1997.3359.
 +
* Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
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* Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
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* Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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[[분류:수열]]
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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==관련도서==
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=h
 

2020년 12월 28일 (월) 02:56 기준 최신판

개요

  • 복소수 \(A\in \mathbb{C}\)에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

\[ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} \]

  • \(x_0=\alpha,x_1=\beta\)와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)을 얻는다

\[ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, \]

  • \(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
  • \(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}은 평면 \(\mathbb{R}^2\)에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다

\[ (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x}) \]

  • \ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다


불변량

  • 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)에 대하여, 다음은 \(n\in \mathbb{Z}\)에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

평면에 정의된 변환

  • \(A>0\)일 때, \(\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2\)를 다음과 같이 정의하자

\[ \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x}) \]

  • 다음의 함수는 \(\phi\)에 대한 불변량이다

\[ V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq} \]

  • \ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다

Lyness 차분방정식1.png

  • \(\phi^{*}\omega=\omega\)이 성립한다. 여기서

\[ \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y} \]


타원 곡선

  • 점 \((x_0,y_0)\)가 곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)에 놓여 있는 경우, \((x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})\)도 \(F(x,y)=0\)에 놓여 있다
  • 타원곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
  • \(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 \(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다


특수한 경우

\(A=1\)

\[ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]

콕세터 프리즈4.png

\(A=0\)

  • 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다

\[ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Hassan, Sk Sarif. “Dynamics of \(z_{n+1}=\frac{\alpha + \alpha z_{n}+\beta z_{n-1}}{1+z_{n}}\) in Complex Plane.” arXiv:1511.04363 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04363.
  • Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
  • Esch, J., and T. D. Rogers. 2001. “The Screensaver Map: Dynamics on Elliptic Curves Arising from Polygonal Folding.” Discrete & Computational Geometry. An International Journal of Mathematics and Computer Science 25 (3): 477–502. doi:10.1007/s004540010075.
  • Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation \(u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a\).” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
  • Beukers, F., and R. Cushman. 1998. “Zeeman’s Monotonicity Conjecture.” Journal of Differential Equations 143 (1): 191–200. doi:10.1006/jdeq.1997.3359.
  • Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
  • Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
  • Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.
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