"라이네스 차분방정식"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 02:56 기준 최신판

개요

복소수 \(A\in \mathbb{C}\)에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

\[ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} \]

\(x_0=\alpha,x_1=\beta\)와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)을 얻는다

\[ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, \]

\(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
\(A\in \mathbb{R}_{>0}\)일 때, \ref{lyn}은 평면 \(\mathbb{R}^2\)에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다

\[ (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x}) \]

\ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다

불변량

점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 \(\{x_n\}_{n\geq 0}\)에 대하여, 다음은 \(n\in \mathbb{Z}\)에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

평면에 정의된 변환

\(A>0\)일 때, \(\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2\)를 다음과 같이 정의하자

\[ \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x}) \]

다음의 함수는 \(\phi\)에 대한 불변량이다

\[ V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq} \]

\ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다

\(\phi^{*}\omega=\omega\)이 성립한다. 여기서

\[ \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y} \]

타원 곡선

점 \((x_0,y_0)\)가 곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)에 놓여 있는 경우, \((x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})\)도 \(F(x,y)=0\)에 놓여 있다
타원곡선 \(F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0\)을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
\(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 \(x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}\)를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다

특수한 경우

\(A=1\)

차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함

\[ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]

콕세터 프리즈

\(A=0\)

다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다

\[ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots \]

메모

Pentagramma Mirificum
http://www.jstor.org/stable/2324138
We show that if \(A \not= 1 \) then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if \(A < 1,\) and decreasing if \(A \gt 1.\) Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
호프스태터의 나비

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk

수학용어번역

발음사전 http://www.pronouncenames.com/search?name=lyness

리뷰, 에세이, 강의노트

Geometric Unfolding of a Difference Equation E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997

관련논문

Hassan, Sk Sarif. “Dynamics of \(z_{n+1}=\frac{\alpha + \alpha z_{n}+\beta z_{n-1}}{1+z_{n}}\) in Complex Plane.” arXiv:1511.04363 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04363.
Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
Esch, J., and T. D. Rogers. 2001. “The Screensaver Map: Dynamics on Elliptic Curves Arising from Polygonal Folding.” Discrete & Computational Geometry. An International Journal of Mathematics and Computer Science 25 (3): 477–502. doi:10.1007/s004540010075.
Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation \(u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a\).” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
Beukers, F., and R. Cushman. 1998. “Zeeman’s Monotonicity Conjecture.” Journal of Differential Equations 143 (1): 191–200. doi:10.1006/jdeq.1997.3359.
Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.

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 ==개요==
-* 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다
+* 복소수 <math>A\in \mathbb{C}</math>에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다
-$$
+:<math>
 x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn}
-$$
+</math>
-* $x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다
+* <math>x_0=\alpha,x_1=\beta</math>와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 <math>\{x_n\}_{n\geq 0}</math>을 얻는다
-$$
+:<math>
 \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha  \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha  \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots,
-$$
+</math>
-* $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
+* <math>A\in \mathbb{R}_{>0}</math>일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
-* $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, \ref{lyn}은 평면 $\mathbb{R}^2$에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다
+* <math>A\in \mathbb{R}_{>0}</math>일 때, \ref{lyn}은 평면 <math>\mathbb{R}^2</math>에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다
-$$
+:<math>
 (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x})
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+</math>
 * \ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다
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 ==불변량==
-* 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다
+* 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 <math>\{x_n\}_{n\geq 0}</math>에 대하여, 다음은 <math>n\in \mathbb{Z}</math>에 의존하지 않는 불변량이다
 :<math>C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
 ===평면에 정의된 변환===
-* $A>0$일 때, $\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2$를 다음과 같이 정의하자
+* <math>A>0</math>일 때, <math>\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2</math>를 다음과 같이 정의하자
-$$
+:<math>
 \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x})
-$$
+</math>
-* 다음의 함수는 $\phi$에 대한 불변량이다
+* 다음의 함수는 <math>\phi</math>에 대한 불변량이다
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+:<math>
 V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq}
-$$
+</math>
 * \ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다
 [[파일:Lyness 차분방정식1.png]]
-* $\phi^{*}\omega=\omega$이 성립한다. 여기서
+* <math>\phi^{*}\omega=\omega</math>이 성립한다. 여기서
-$$
+:<math>
 \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y}
-$$
+</math>
 ===타원 곡선===
-* 점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다
+* 점 <math>(x_0,y_0)</math>가 곡선 <math>F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0</math>에 놓여 있는 경우, <math>(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})</math>도 <math>F(x,y)=0</math>에 놓여 있다
-* [[타원곡선]] $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
+* [[타원곡선]] <math>F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0</math>을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
-* $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다
+* <math>x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}</math>인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 <math>x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}</math>를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다
 ==특수한 경우==
-===$A=1$===
+===<math>A=1</math>===
 * 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
-$$
+:<math>
 \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
-$$
+</math>
 * [[콕세터 프리즈]]
 [[파일:콕세터 프리즈4.png]]
-===$A=0$===
+===<math>A=0</math>===
 * 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다
-$$
+:<math>
 \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
-$$
+</math>
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 * [[Pentagramma Mirificum]]
 * http://www.jstor.org/stable/2324138
-* We show that if $A \not= 1 $ then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if $A < 1,$ and decreasing if $A \gt 1.$ Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
+* We show that if <math>A \not= 1 </math> then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if <math>A < 1,</math> and decreasing if <math>A \gt 1.</math> Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
 * [[호프스태터의 나비]]
 ==관련된 항목들==
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 ==관련논문==
-* Hassan, Sk Sarif. “Dynamics of $z_{n+1}=\frac{\alpha + \alpha z_{n}+\beta z_{n-1}}{1+z_{n}}$ in Complex Plane.” arXiv:1511.04363 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04363.
+* Hassan, Sk Sarif. “Dynamics of <math>z_{n+1}=\frac{\alpha + \alpha z_{n}+\beta z_{n-1}}{1+z_{n}}</math> in Complex Plane.” arXiv:1511.04363 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04363.
 * Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
 * Esch, J., and T. D. Rogers. 2001. “The Screensaver Map: Dynamics on Elliptic Curves Arising from Polygonal Folding.” Discrete & Computational Geometry. An International Journal of Mathematics and Computer Science 25 (3): 477–502. doi:10.1007/s004540010075.
-* Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation $u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a$.” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
+* Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation <math>u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a</math>.” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
 * Beukers, F., and R. Cushman. 1998. “Zeeman’s Monotonicity Conjecture.” Journal of Differential Equations 143 (1): 191–200. doi:10.1006/jdeq.1997.3359.
 * Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.