리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)

수학노트
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개요

  • 종수가 <math>g</math>인 컴팩트 리만 곡면 <math>X</math>의 주기 행렬은 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>의 원소로 주어짐
<math>

\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} </math>


주기 행렬

  • 다음을 만족하는 <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 <math>a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g</math>이 존재 (canonical homology basis)
<math>

\langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} </math>

  • 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다
<math>

\begin{array}{c|cc} \text{} & a& b \\ \hline a & 0 & I_g \\ b & -I_g & 0 \end{array} </math>

  • 다음을 만족하는 <math>H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g</math>의 기저, holomorphic 1-form <math>\omega_1,\cdots,\omega_{g}</math>가 존재
<math>

\int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} </math>

  • <math>\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j</math>로 두면, <math>\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}</math>는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계)
  1. <math>\tau^{\mathrm{T}}=\tau</math>
  2. <math>\textrm{Im}(\tau)</math>는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)
  • 즉, <math>\tau</math>는 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>의 원소이며, <math>X</math>의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다

<math>g=3</math> 인 경우

<math>

\begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & \left\langle a_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _1\right\rangle \\ \omega _2 & \left\langle a_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _2\right\rangle \\ \omega _3 & \left\langle a_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _3\right\rangle \end{array} = \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & 1 & 0 & 0 & \tau _{1,1} & \tau _{1,2} & \tau _{1,3} \\ \omega _2 & 0 & 1 & 0 & \tau _{2,1} & \tau _{2,2} & \tau _{2,3} \\ \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} \end{array} </math> 여기서 <math>\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega</math>


예

<math>

\frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} \rho & 1 & 1 \\ 1 & \rho & 1 \\ 1 & 1 & \rho \\ \end{array} \right) </math> 여기서 <math>\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}</math>.


메모


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리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Braden, Harry W., and Timothy P. Northover. 2012. “Bring’s Curve: Its Period Matrix and the Vector of Riemann Constants”. ArXiv e-print 1206.6004. http://arxiv.org/abs/1206.6004.
  • Deconinck, Bernard, and Mark van Hoeij. 2001. “Computing Riemann Matrices of Algebraic Curves.” Physica D. Nonlinear Phenomena 152/153: 28–46. doi:10.1016/S0167-2789(01)00156-7.
  • Tretkoff, C. L., and M. D. Tretkoff. 1984. “Combinatorial Group Theory, Riemann Surfaces and Differential Equations.” In Contributions to Group Theory, 33:467–519. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=767125.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'riemann'}, {'LEMMA': 'form'}]
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