바이어슈트라스 시그마 함수

개요

• 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
• 사인함수와 비슷한 역할을 함
• 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
  
• 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함

 

 

로랑급수

• z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]
  

 

 

바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계

• 바이어슈트라스 타원함수 ℘\[\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)\]
  
• 덧셈공식\[-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)\]
  

 

 

 

세타함수로서의 시그마함수

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 

\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)

\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

 

 

 

타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다

\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)

(증명)

\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).

\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

메모

• The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus
• The higher-genus sigma function and applications

 

 

 

관련된 항목들

• 바이어슈트라스의 타원함수
• 소모스 수열(Somos sequence)
• 솔리톤

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
  • Weierstrass elliptic functions
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • http://dlmf.nist.gov/23.2#ii

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_sigma_function
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions

   

관련논문

• Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
• Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
• Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
• Braden, Harry W, Victor Z Enolskii, and  Andrew N. W Hone. 2005. “Bilinear recurrences and addition formulae for hyperelliptic sigma functions”. math/0501162 (1월 11). http://arxiv.org/abs/math/0501162