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==개요==
  
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* 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
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* 사인함수와 비슷한 역할을 함
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*  격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수:<math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math>
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* 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math> 을 사용하여, <math>\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)</math> 로 쓰기도 함
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==로랑급수==
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*  z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다:<math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math>
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==바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계==
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]:<math>\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)</math>
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*  덧셈공식:<math>-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)</math>
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==세타함수로서의 시그마함수==
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<math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math>
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<math>\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)</math>
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<math>\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math>
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==타원함수론==
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모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 <math>f(z)</math>는 타원함수이다
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<math>f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}</math>
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(증명)
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<math>f(z+\omega_{i})=f(z)</math> 임을 보이자.
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<math>\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> 이므로, <math>\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}</math>
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<math>\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)</math> 이므로 <math>\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)</math>.
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<math>f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)</math>. ■
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus]
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* [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications]
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==관련된 항목들==
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]
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* [[소모스 수열(Somos sequence)]]
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* [[코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)|솔리톤]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
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* [http://eom.springer.de/w/w097450.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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** [http://eom.springer.de/w/w097450.htm Weierstrass elliptic functions]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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** http://dlmf.nist.gov/23.2#ii
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_sigma_function
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* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions
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==관련논문==
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* Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
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* Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
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* Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04215-8 0.1090/S0002-9947-07-04215-8]
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* Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:[http://dx.doi.org/10.1112/S0024609304004163 10.1112/S0024609304004163].
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* Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.
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[[분류:특수함수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3075283 Q3075283]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
  • 사인함수와 비슷한 역할을 함
  • 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
  • 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함



로랑급수

  • z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]



바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계




세타함수로서의 시그마함수

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)

\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)




타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다

\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)

(증명)

\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).

\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■



역사



메모




관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

  • Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
  • Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
  • Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
  • Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
  • Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]
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