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| + | * 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수:<math>\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}</math> | ||
| + | * 격자 <math>\Lambda</math>의 불변량 <math>g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}</math>, <math>g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}</math> 을 사용하여, <math>\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)</math> 로 쓰기도 함 | ||
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| − | + | * z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다:<math>\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+</math> | |
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| − | + | * [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus] | |
| + | * [http://www.ma.hw.ac.uk/%7Echris/icms/Sigma/ The higher-genus sigma function and applications] | ||
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| + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function | ||
| + | * [http://eom.springer.de/w/w097450.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics] | ||
| + | ** [http://eom.springer.de/w/w097450.htm Weierstrass elliptic functions] | ||
| + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
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| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | |
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| + | * http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092. | ||
| + | * Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2. | ||
| + | * Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04215-8 0.1090/S0002-9947-07-04215-8] | ||
| + | * Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:[http://dx.doi.org/10.1112/S0024609304004163 10.1112/S0024609304004163]. | ||
| + | * Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162. | ||
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| − | + | [[분류:특수함수]] | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q3075283 Q3075283] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}] |
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2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판
개요
- 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
- 사인함수와 비슷한 역할을 함
- 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
- 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함
로랑급수
- z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]
바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계
- 바이어슈트라스 타원함수 ℘\[\wp(u) = -\frac{d^2}{du^2} \ln \sigma (z)\]
- 덧셈공식\[-\frac{\sigma(u+v)\sigma(u-v)}{\sigma(u)^2\sigma(v)^2}=\wp(u)-\wp(v)\]
세타함수로서의 시그마함수
\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)
\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)
타원함수론
모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다
\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)
(증명)
\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.
\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)
\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).
\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■
역사
메모
- The Weierstrass Theory For Elliptic Functions Including The Generalisation To Higher Genus
- The higher-genus sigma function and applications
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGYzZjY0MWMtZjA1NC00NjNlLWJjNGEtMWZmYTI3N2U0NTA5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=weierstrass+sigma+function
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_sigma_function
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weierstrass_elliptic_functions
관련논문
- Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
- Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
- Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
- Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
- Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q3075283
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'function'}]