"베르누이 수"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 29일 (수) 05:06 판

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

\(\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)

처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.

\(B_0=1\) , \(B_1=-1/2\), \(B_2=1/6\), \(B_3=0\),\(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\),\(B_6=\frac{1}{42}\)

\(\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

베르누이 수보다 좀 더 일반적으로, 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

좀더 자세히 쓰면

\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)

여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수

처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.

\(B_0(x)=1\)

\(B_1(x)=x-1/2\)

\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)

\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)

\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)

\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\)

\(B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\)

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	<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>		<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
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