"복소수"의 두 판 사이의 차이
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2012년 10월 23일 (화) 02:43 판
개요
- (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
- 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.
배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
- (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
- 삼각함수의 덧셈정리
- 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요
중요한 개념 및 정리
- \(i^2=-1\)
- 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
- \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면
\( z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big)\). \(\big(r_1, \quad r_2\) 는 실수\(\big)\)
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)
- 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다. (지금은 몰라도 좋음)
- Euler's Formula \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\] (복소수승의 정의(definition))
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]] 참조
- 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
- \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)\)
켤레복소수
\(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)
\(\{\operatorname{id}, \sigma\}\)
\(\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z\)
(정리)
복소수 \(\alpha+\beta i\) (\(\alpha, \beta\)는 실수)가 실계수방정식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\), (\(a_n\neq 0 \)) 의 해이면, 켤레복소수 \(\alpha-\beta i\)도 이 방정식의 해이다.
(증명)
\(z=\alpha+\beta i\)라 두자. \(f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0\) 이다.
좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,
\(\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0\) 을 얻는다.
따라서 \(f(\bar{z})=f(\alpha-\beta i)=0\) 이 된다. (증명끝)
재미있는 문제
- \( e^{i\pi}+1 =0\)
- \( i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\), and... (실수) i^i 는 무엇일까?
관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
- 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
- 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
- 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.
\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)
\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & cos \theta \\ \end{array} \right)\) : 회전변환.
관련된 항목들
관련된 대학교 수학
- 복소함수론
- 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
- 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
- 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
- 추상대수학
- 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
- 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
- 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
- 대수학의 기본정리
메모
- The Historical Development of Complex Numbers
- D. R. Green, The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
- Dimensions
- 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
- chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.