블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

개요

다이로그 함수(dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt,\quad z\in \mathbb C-[1,\infty)\]

다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 \(z\in\mathbb{C}\)에 대하여 다음과 같이 정의함

\[D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\]

복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
대수적 K-이론에서 수체의 \(K_3\) 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키 함수와 클라우센 함수(Clausen function) 항목 참조

그래프와 등고선

복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수

다음과 같은 등고선을 얻는다

항등식

여러 함수 항등식을 만족함

\[D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\]

\[D(\bar{z})=-D(z)\]

다이로그 함수(dilogarithm)가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함

5항 관계식

5항 관계식 (5-term relation)
가장 중요한 항등식

\[D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\]

다이로그 함수(dilogarithm)의 경우

\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\]

클라우센 함수와의 관계

\(z=e^{i\theta}\) 일 때, \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) 의 값은 클라우센 함수(Clausen function) 로 표현

\[\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]

데데킨트 제타함수와의 관계

데데킨트 제타함수\(s=2\) 에서의 값을 표현하는데 나타남
복소이차수체의 데데킨트 제타함수 의 경우

\[\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\] \[\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\]

역사

수학사 연표

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit

블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

목차

개요

그래프와 등고선

항등식

5항 관계식

클라우센 함수와의 관계

데데킨트 제타함수와의 관계

역사

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

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