"상수곡률곡면과 사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

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* <math>K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}</math><br>
 
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* <math>K=-1</math> 이 되려면, <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 을 만족시키면 된다<br>
 
* <math>K=-1</math> 이 되려면, <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 을 만족시키면 된다<br>
*  미분방정식 <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 은 광뿔좌표계에서의 [[사인-고든 방정식]] 이 된다<br>
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*  미분방정식 <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 [[사인-고든 방정식]] 이 된다<br>
  
 
 
 
 
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* [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/SGE.html http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html]<br>
 
* [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/SGE.html http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html]<br>
 
*  솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf]<br>
 
*  솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf]<br>
* [http://www.springerlink.com/content/x656505g28736tml/ A gallery of constant-negative-curvature surfaces]<br>
 
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* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
 
* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
* http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/
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* É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
 
* http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf
 
* http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf
  
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
 
<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
  
 
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* Robert McLachlan, [http://www.springerlink.com/content/x656505g28736tml/ A gallery of constant-negative-curvature surfaces] The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37
  
 
 
 
 

2012년 7월 13일 (금) 15:20 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

사인-고든 방정식
  • 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
    \(E=1\) , \(F=\cos (\phi (x,t))\), \(G=1\)
  • 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
  • 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다

 

 

크리스토펠 기호

\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)

 

 

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

 

 

가우스 곡률
  • \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
  • \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
  • 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다

 

 

 

 

 

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