슈르 다항식(Schur polynomial)

수학노트
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개요


정의

  • 변수의 개수 <math>n</math>과 <math>d</math>의 (0을 허용하며, 크기가 <math>n</math>인) 분할(partition) <math>\lambda</math>가 주어지면 <math>d</math>차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
    • 분할 <math>\lambda</math>의 크기가 <math>n</math>보다 큰 경우, <math>s_{\lambda}=0</math>
  • 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
    • <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
    • <math>d</math>의 (크기가 <math>n</math>인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
  • 다음과 같이 <math>n\times n</math> 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
<math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}</math>
<math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}</math>
  • \ref{van}의 <math>a_{\rho}</math>는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
  • 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math>
  • 교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다

예

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}




영 태블로

<math>s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)</math>

여기서 <math>T</math>는 <math>\lambda</math> 형태의 준표준 영 태블로

  • 예 <math>n=3</math>, <math>\lambda=(2,1,1)</math>의 경우, <math>s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2</math>
<math>

\begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, </math>

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

정리 (자코비-트루디)

<math>s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})</math>

예

  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다
<math>\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)</math>
  • 예 :<math>s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left(

\begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4</math>


코쉬 항등식

  • 다음이 성립한다
<math>

\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) </math>

1변수의 예

  • 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 <math>(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>꼴로 주어진다
  • 슈르다항식은 <math>s_{(n)}(x_1)=x_1^n</math>
  • 따라서
<math>

\sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} </math>

2변수의 예

<math>

\begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} </math>


리틀우드 항등식

  • 다음이 성립한다
<math>

\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} </math>

정리 (맥도날드)

임의의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>에 대하여, 다음이 성립한다

<math>

\sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} </math>

역사



메모



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관련논문

  • Yeats, Karen. “A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities.” arXiv:1511.06337 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06337.
  • Blasiak, Jonah, and Sergey Fomin. “Noncommutative Schur Functions, Switchboards, and Positivity.” arXiv:1510.00657 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00657.
  • Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
  • Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
  • Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
  • Proctor, Robert A. 1989. “Equivalence of the Combinatorial and the Classical Definitions of Schur Functions.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 51 (1) (May): 135–137. doi:10.1016/0097-3165(89)90086-1.
  • I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276

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  • [{'LOWER': 'lindström'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gessel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'viennot'}, {'LEMMA': 'lemma'}]
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