"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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* [[대칭다항식]]의 하나
 
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* 수학의 많은 영역에서 등장함
 
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* [[대칭군의 표현론]]에서 중요한 역할
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* [[일반 선형군의 표현론]]에서 지표 역할
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==정의==
 
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* 변수의 개수 $n$$d$의 (0을 허용하며, 크기가 $n$인) 분할(partition) <math>\lambda</math>가 주어지면 $d$차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
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* 변수의 개수 <math>n</math><math>d</math>의 (0을 허용하며, 크기가 <math>n</math>인) 분할(partition) <math>\lambda</math>가 주어지면 <math>d</math>차 다항식 <math> s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)</math> 이 결정된다
** 분할 $\lambda$의 크기가 $n$보다 큰 경우, $s_{\lambda}=0$
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** 분할 <math>\lambda</math>의 크기가 <math>n</math>보다 큰 경우, <math>s_{\lambda}=0</math>
 
*  다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
 
*  다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
 
** <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
 
** <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
** $d$의 (크기가 $n$인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
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** <math>d</math>의 (크기가 <math>n</math>인) 분할 :<math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
*  다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
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*  다음과 같이 <math>n\times n</math> 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자
 
:<math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}</math>
 
:<math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}</math>
 
:<math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}</math>
 
:<math>a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}</math>
* \ref{van}의 $a_{\rho}$는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
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* \ref{van}의 <math>a_{\rho}</math>는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
 
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math>
 
*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 :<math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math>
 
* 교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, [[대칭다항식]]이 된다
 
* 교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, [[대칭다항식]]이 된다
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* [[영 태블로(Young tableau)]]를 이용한 슈르 다항식의 표현
 
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:<math>s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)</math>
 
:<math>s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)</math>
여기서 $T$는  $\lambda$ 형태의 준표준 영 태블로
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여기서 <math>T</math>는  <math>\lambda</math> 형태의 준표준 영 태블로
* 예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$
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* 예 <math>n=3</math>, <math>\lambda=(2,1,1)</math>의 경우, <math>s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2</math>
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* [[코스트카 수 (Kostka number)]]
 
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==코쉬 항등식==
 
==코쉬 항등식==
 
* 다음이 성립한다
 
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\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)
 
\prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)
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===1변수의 예===
 
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* 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 $(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$꼴로 주어진다
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* 슈르다항식은 $s_{(n)}(x_1)=x_1^n$
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* 슈르다항식은 <math>s_{(n)}(x_1)=x_1^n</math>
 
* 따라서
 
* 따라서
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\sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1}
 
\sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1}
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===2변수의 예===
 
===2변수의 예===
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\prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\
 
\prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\
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&+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots
 
&+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots
 
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* http://mathoverflow.net/questions/114275/generalization-of-cauchys-identity
 
* http://mathoverflow.net/questions/114275/generalization-of-cauchys-identity
 
* [[코쉬 행렬과 행렬식]]
 
* [[코쉬 행렬과 행렬식]]
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==리틀우드 항등식==
 
==리틀우드 항등식==
 
* 다음이 성립한다
 
* 다음이 성립한다
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:<math>
 
\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j}
 
\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j}
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</math>
 
* The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.
 
* The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.
 
;정리 (맥도날드)
 
;정리 (맥도날드)
임의의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여, 다음이 성립한다
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임의의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
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:<math>
 
\sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)}
 
\sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)}
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==역사==
 
==역사==
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Yeats, Karen. “A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities.” arXiv:1511.06337 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06337.
 +
* Blasiak, Jonah, and Sergey Fomin. “Noncommutative Schur Functions, Switchboards, and Positivity.” arXiv:1510.00657 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00657.
 +
* Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
 
* Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
 
* Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
 
* Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
 
* Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
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* I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf
 
* I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf
 
[[분류:대칭다항식]]
 
[[분류:대칭다항식]]
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== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
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* Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6552939 Q6552939]
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===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'lindström'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gessel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'viennot'}, {'LEMMA': 'lemma'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:50 기준 최신판

개요


정의

  • 변수의 개수 \(n\)과 \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
    • 분할 \(\lambda\)의 크기가 \(n\)보다 큰 경우, \(s_{\lambda}=0\)
  • 다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • \(d\)의 (크기가 \(n\)인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
  • 다음과 같이 \(n\times n\) 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}




영 태블로

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 \(T\)는 \(\lambda\) 형태의 준표준 영 태블로

  • 예 \(n=3\), \(\lambda=(2,1,1)\)의 경우, \(s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2\)

\[ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, \]

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

정리 (자코비-트루디)

\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

  • 예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]


코쉬 항등식

  • 다음이 성립한다

\[ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) \]

1변수의 예

  • 크기가 1보다 작거나 같은 분할은 \((n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)꼴로 주어진다
  • 슈르다항식은 \(s_{(n)}(x_1)=x_1^n\)
  • 따라서

\[ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} \]

2변수의 예

\[ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} \]


리틀우드 항등식

  • 다음이 성립한다

\[ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} \]

정리 (맥도날드)

임의의 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} \]

역사



메모



관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스



수학용어번역

  • 표준, standard - 대한수학회 수학용어집
  • 준,반, semi - 대한수학회 수학용어집




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Yeats, Karen. “A Hopf Algebraic Approach to Schur Function Identities.” arXiv:1511.06337 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06337.
  • Blasiak, Jonah, and Sergey Fomin. “Noncommutative Schur Functions, Switchboards, and Positivity.” arXiv:1510.00657 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00657.
  • Blasiak, Jonah, and Ricky Ini Liu. “Kronecker Coefficients and Noncommutative Super Schur Functions.” arXiv:1510.00644 [math], October 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00644.
  • Stanley, Richard P. “The Smith Normal Form of a Specialized Jacobi-Trudi Matrix.” arXiv:1508.04746 [math], August 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.04746.
  • Motegi, Kohei, and Kazumitsu Sakai. “Quantum Integrable Combinatorics of Schur Polynomials.” arXiv:1507.06740 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06740.
  • Proctor, Robert A. 1989. “Equivalence of the Combinatorial and the Classical Definitions of Schur Functions.” Journal of Combinatorial Theory, Series A 51 (1) (May): 135–137. doi:10.1016/0097-3165(89)90086-1.
  • I. Gessel and X. Viennot, Determinants, paths, and plane partitions, Preprint, 1988 http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/pp.pdf

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'lindström'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gessel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'viennot'}, {'LEMMA': 'lemma'}]