역제곱 벡터장

개요

3차원에서의 벡터장을 생각하자
바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\]
(정리)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 존재하지 않는다 (증명)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\) 를 가정하자.스토크스 정리 를 적용하면, \(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0\) 을 얻는다. 그러나\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\] 이므로 모순. ■
\(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\) 이라고 해서 \(\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\) 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 반드시 존재하는 것은 아니다
obstruction : second homotopy group, second cohomology group