오일러상수, 감마

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma</math>
  • <math>\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots</math>
  • 적분표현
<math>\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt</math> (증명) 아래의 <math>\Gamma'(1)=-\gamma</math> 참조. ■



오일러 상수가 등장하는 곳

<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math>
<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>:<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>:<math>\Gamma'(1)=-\gamma</math>
<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)</math>


오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기

오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다

<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>


<math>f(x)=\frac{1}{x}</math> 에 대하여 적용해보자.

<math>\int f(x)\,dx=\ln x</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>f'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}</math>

<math>\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)</math>

<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots</math>

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)

<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma</math>

그 다음, <math>n=10</math> 인 경우에 다음식을 계산하면,

<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}</math>

<math>0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots</math>

참고로 <math>\gamma=0.5772156649015\cdots</math>




메모

<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}</math> 은 발산하지만 이것과  <math>\ln n</math> 과의 차는 수렴.


관련된 항목들




사전 참고자료


매스매티카 파일 및 계산 리소스

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'mascheroni'}, {'LEMMA': 'constant'}]
  • [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': '’s'}, {'LEMMA': 'constant'}]
  • [{'LEMMA': '0.577'}]
  • [{'LEMMA': '0.5772156649'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=오일러상수,_감마&oldid=52410"