오일러 수

개요

• 오일러 수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨

\[\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\] \[\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \] \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]

• 처음 몇 개의 오일러 수는 다음과 같이 주어짐 (\(n\)이 홀수이면, \(E_n=0\))

\[ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \\ 14 & -199360981 \\ 16 & 19391512145 \\ 18 & -2404879675441 \\ 20 & 370371188237525 \end{array} \]

재미있는 사실

\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)

\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots\)

좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐

\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)

따라서 \(N=10^{l}\) 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

예)

\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

예)

\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\)

0.12'34567890123456789012345'6789012345678901234567890123456789

3.1'415926535897932384626433'8327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

예)

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582

3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 베르누이 수와 베르누이 다항식
• 오일러-맥클로린 공식
• 디리클레 베타함수
• 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수
• ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
• 파이

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/EulerE.html

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbnRYYUg4SDVvem8/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4(-1)^(k-1)/(2k-1),+k%3D1+to+5000

관련논문

• Josuat-Vergès, Matthieu. “A Generalization of Euler Numbers to Finite Coxeter Groups.” arXiv:1304.0902 [math], April 3, 2013. http://arxiv.org/abs/1304.0902.
• Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions
  • J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687

메타데이터

위키데이터

• ID : Q947015

Spacy 패턴 목록

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