유리계수 이차형식
개요
- 유리수체 위에서의 대칭 겹선형 형식과 이차형식 이론
- 유리계수 이차형식에 대해서는 local-global 원리가 작동
- 등방형식의 판정
- Hasse-Minkowski 정리
등방형식
예1
- $f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2$는 등방형식이다. 예를 들어 $f(1,2,1)=0$
예2
- $g(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2$는 비등방형식이다. $f(x,y,z)=0$을 만족하는 $(x,y,z)\neq 0\in \mathbb{Q}^3$는 존재하지 않는다
동치관계
예1
- $f=x^2-15 y^2$와 $g=3 x^2-5 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
- 가령 $f$와 $g$는 $\mathbb{Q}_2$ 또는 $\mathbb{Q}_5$에서 동치관계에 있지 않다 (1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능)
- Hasse-Minkowski 불변량
$$ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} $$
예2
- $f=x^2-82 y^2$와 $g=2 x^2-41 y^2$는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
- 이차형식에 대응되는 대각행렬 $Q_f,Q_g$를 다음과 같이 쓰자
$$ Q_f=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -82 \end{array} \right) , \quad Q_g=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -41 \end{array} \right) $$
- 다음이 성립한다
$$ P^{T}Q_fP=Q_g $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{cc} \frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{array} \right). $$
- Hasse-Minkowski 불변량
$$ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} $$
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련도서
- Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
- 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함