유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)

수학노트
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개요

  • \(\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid r_1^2=\cdots=r_n^2=(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle\)
  • 대칭군 (symmetric group) 은 콕세터 군의 예이다
  • 정이면체군(dihedral group)은 콕세터 군의 예이다
  • 리대수의 이론에 등장하는 바일군(Weyl group) 은 콕세터 군의 예이다


테이블

불변량

$$ \begin{array}{c|cccc} & \text{rank} & \text{degree} & \text{order} & \text{coxeter} \\ \hline A_n & n & 2,3,\cdots, n+1 & (n+1)! & n+1 \\ B_n & n & 2,4,6,\cdots,2n & 2^n n! & 2 n \\ D_n & n & 2,4,6,\cdots 2n-2, n & 2^{n-1} n! & 2 n-2 \\ E_6 & 6 & \{2,5,6,8,9,12\} & 51840 & 12 \\ E_7 & 7 & \{2,6,8,10,12,14,18\} & 2903040 & 18 \\ E_8 & 8 & \{2,8,12,14,18,20,24,30\} & 696729600 & 30 \\ F_4 & 4 & \{2,6,8,12\} & 1152 & 12 \\ G_2 & 2 & \{2,6\} & 12 & 6 \\ H_3 & 3 & \{2,6,10\} & 120 & 10 \\ H_4 & 4 & \{2,12,20,30\} & 14400 & 30 \\ I_2(m) & 2 & \{2,m\} & 2 m & m \\ \end{array} $$


정다면체와 콕세터군

  • $D_4 : 2, 4, 4, 6$
  • $F_4 : 2, 6, 8, 12$
  • $H_4 : 2, 12, 20, 30$
다면체 점 V 선 E 면 F V-E+F
정사면체 4 6 4 4-6+4=2
정육면체 8 12 6 8-12+6=2
정팔면체 6 12 8 6-12+8=2
정십이면체 20 30 12 20-30+12=2
정이십면체 12 30 20 12-30+20=2


역사


메모


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