정다면체

개요

다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형볼록한 정다면체는 다섯가지가 존재한다.
- 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
오목한 정다면체는 네 가지가 존재한다.
- 작은 별모양 정십이면체, 큰 별모양 정십이면체, 큰 정이십면체, 큰 정십이면체

다섯개의 볼록 정다면체

정사면체
정육면체
정팔면체
정십이면체
정이십면체

다면체	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 결손각(angle defect) A	결손각의 총합 V × A
정사면체	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times\pi=4\pi\)
정육면체	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

네개의 오목 정다면체

작은 별모양 정십이면체
큰 별모양 정십이면체
큰 정십이면체
큰 정이십면체

다면체	점 V	선 E	면 F
작은 별모양 정십이면체	30	12	12
큰 별모양 정십이면체	30	20	12
큰 정십이면체	30	12	12
큰 정이십면체	30	12	20

정다면체의 분류

다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2 를 사용

(증명)

정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자.

꼭지점의 개수는

\(V = \frac{pF}{q}\)

변의 개수는

\(E = \frac{pF}{2}\)

여기서

\(n = qV = pF = 2E\) 로 두자.

오일러의 정리로부터,

\(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\)

\(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\)

\(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\)

양변을 \(2pqn\) 으로 나누면,

\(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\)

부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.■

군론을 통한 증명

플라톤과 정다면체

플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다. 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.

케플러와 정다면체

케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다. 먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.

재미있는 사실

살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
파치올리
- http://images.google.com/images?q=pacioli
뒤러의 melancholia
- http://images.google.com/images?q=durer_melancholia

메모

http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry
Roya Zandi et al., “Origin of icosahedral symmetry in viruses,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 101, no. 44 (November 2, 2004): 15556 -15560.
카탈란 다면체
아르키메데스 다면체
마름모 이십면체 달력 http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/
24-cell

수학용어번역

isotropy - 대한수학회 수학용어집
orbit - 대한수학회 수학용어집

메타데이터

위키데이터

ID : Q188745

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'solid'}]
[{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'polyhedron'}]