구면기하학

수학노트
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개요

  • 구면(sphere) 위의 기하학
  • 측지선은 대원으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함
  • 직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.
  • 세 각이 A,B,C 로 주어진 반지름 1인 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\)
  • 넓이는 양수가 되어야 하므로, $A+B+C>\pi$, 즉 삼각형의 세 내각의 합은 180보다 크게 됨

 

 

구면상의 미분기하학

 

구면의 측지선

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.

356px-RechtwKugeldreieck.svg.png  


구면삼각형

  • 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다
  • 구면삼각형 항목 참조


삼각형의 세 각의 합

  • 한편 면적은 언제나 양수이므로, 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다!
  • 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요!!!!!


테셀레이션

  • 정다면체에 기반한 구면의 테셀레이션은 ( 3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) 세 가지가 있다
  • 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

\[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\] 라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면, \[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}\] 가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 

 

메모

 

 

역사

  • 1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견
  • 1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판
  • 수학사 연표


 

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Papadopoulos, Athanase. “On the Works of Euler and His Followers on Spherical Geometry.” arXiv:1409.4736 [math], September 16, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.4736.