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2009년 2월 10일 (화) 14:07 판
간단한 요약
- 근사를 통해 함수를 이해하는 방법을 배움
- 수학과 속담 : 꿩 대신 닭
- 미분 - 곡선를 직선으로 근사하는 것
- 적분 - 영역을 사각형으로 근사하는 것
- 테일러 정리 - 함수를 다항식으로 근사하는 것
- 많은 경우 증명은 뒤로 미루며, 엄밀한 증명은 해석개론에서 배우게 됨
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 대학 수준의 선수 과목은 없음.
- 고교 수학의 수열과 급수, 극한과 연속, 함수, 미분과 적분
- 쌍곡함수
다루는 대상
- 수열과 급수
- 초등함수 및 일반적인 멱급수 함수
중요한 개념 및 정리
- 미분
- 적분
- 무한 급수
- 일변수 함수의 "다항식 근사"인
- 급수의 수렴판정법
- ratio test
- root test
- ...
- 테일러 정리
- 미적분학의 기본정리
- 적분의 기술
- 유리함수의 분해
- 삼각치환
유명한 정리 혹은 생각할만한 문제
- 월리스 곱
- 스털링 공식
- 감마함수
- 오일러-맥클로린 공식
- 부정적분
- \(\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)
- Integration in finite terms 를 참조
다른 과목과의 관련성
- 다변수미적분학
- 미적분학의 기본정리의 일반화인 그린정리, 발산정리 그리고 스토크스 정리를 공부함
- 상미분방정식
- 미분방정식은 자연을 기술하는 언어
- 미적분학의 응용
- 해석개론
- 증명없이 배운 미적분학에 엄밀한 기초를 부여함.
- 복소함수론
- 일변수미적분학의 자연스러운 세팅.
- 해석개론을 생략하고, 복소함수론을 공부해도 크게 지장없음.
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 다변수미적분학의 관련항목을 참조
- 복소함수론의 관련항목을 참조
- 타원적분
- Integration in finite terms
표준적인 교과서
추천도서 및 보조교재
- Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals
- George Boros and Victor Moll
참고할만한 자료
- The History of Calculus
- Arthur Rosenthal
- The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 2 (Feb., 1951), pp. 75-86
- The History of the Calculus
- Carl B. Boyer
- The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 1, No. 1 (Spring, 1970), pp. 60-86
- Why Do We Teach Calculus?
- David M. Bressoud
- The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 7 (Aug. - Sep., 1992), pp. 615-617
- An Introduction to Differential Calculus
- D. G. Herr
- The American Mathematical Monthly, Vol. 77, No. 2 (Feb., 1970), pp. 187-191
- D. G. Herr
- History of the Infinitely Small and the Infinitely Large in Calculus
- Israel Kleiner
- Educational Studies in Mathematics, Vol. 48, No. 2/3, Infinity: The Never-Ending Struggle (2001), pp. 137-174
- The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass
- Judith V. Grabiner
- Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 4 (Sep., 1983), pp. 195-206
- Conceptions of Area: In Students and in History
- Bronislaw Czarnocha, Ed Dubinsky, Sergio Loch, Vrunda Prabhu and Draga Vidakovic
- The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 2 (Mar., 2001), pp. 99-109
- Enter, Stage Center: The Early Drama of the Hyperbolic Functions
- Janet Heine Barnett
- Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 1 (Feb., 2004), pp. 15-30
- The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
- Vito Lampret
- Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
- An Euler Summation Formula
- Irwin Roman
- The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21