일변수미적분학

간단한 요약

• 근사를 통해 함수를 이해하는 방법을 배움
  
  • 수학과 속담 : 꿩 대신 닭
  • 미분 - 곡선를 직선으로 근사하는 것
  • 적분 - 영역을 사각형으로 근사하는 것
  • 테일러 정리 - 함수를 다항식으로 근사하는 것
• 많은 경우 증명은 뒤로 미루며, 엄밀한 증명은 해석개론에서 배우게 됨

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 대학 수준의 선수 과목은 없음.
• 고교 수학의 수열과 급수, 극한과 연속, 함수, 미분과 적분
• 쌍곡함수

 

다루는 대상

• 수열과 급수
• 초등함수 및 일반적인 멱급수 함수
   
  

중요한 개념 및 정리

• 미분
• 적분
• 무한 급수
  
  • 일변수 함수의 "다항식 근사"인
• 급수의 수렴판정법
  
  • ratio test
    
    • 많은 예는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수 에서 옴
  • root test
  • ...
• 테일러 정리
• 미적분학의 기본정리
• 적분의 기술
  
  • 유리함수의 분해
  • 삼각치환

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 월리스 곱
• 스털링 공식
• 감마함수
• 오일러-맥클로린 공식
• 부정적분
  
  • \(\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)
  • Integration in finite terms 를 참조

 

다른 과목과의 관련성

• 다변수미적분학
  
  • 미적분학의 기본정리의 일반화인 그린정리, 발산정리 그리고 스토크스 정리를 공부함
• 상미분방정식
  
  • 미분방정식은 자연을 기술하는 언어
  • 미적분학의 응용
• 해석개론
  
  • 증명없이 배운 미적분학에 엄밀한 기초를 부여함.
• 복소함수론
  
  • 일변수미적분학의 자연스러운 세팅.
  • 해석개론을 생략하고, 복소함수론을 공부해도 크게 지장없음.

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 다변수미적분학의 관련항목을 참조
• 복소함수론의 관련항목을 참조
• 타원적분
• Integration in finite terms

 

표준적인 교과서

• 미적분학 1,2
  
  • 김홍종, 서울대학교 출판부
  • 재미있는 주석들

 

추천도서 및 보조교재

• Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals
  
  • George Boros and Victor Moll

 

참고할만한 자료

• The History of Calculus
  
  • Arthur Rosenthal
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 2 (Feb., 1951), pp. 75-86
• The History of the Calculus
  
  • Carl B. Boyer
  • The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 1, No. 1 (Spring, 1970), pp. 60-86
• Why Do We Teach Calculus?
  
  • David M. Bressoud
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 7 (Aug. - Sep., 1992), pp. 615-617
• An Introduction to Differential Calculus
  
  • D. G. Herr
    
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 77, No. 2 (Feb., 1970), pp. 187-191
• History of the Infinitely Small and the Infinitely Large in Calculus
  
  • Israel Kleiner
  • Educational Studies in Mathematics, Vol. 48, No. 2/3, Infinity: The Never-Ending Struggle (2001), pp. 137-174
• The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass
  
  • Judith V. Grabiner
  • Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 4 (Sep., 1983), pp. 195-206
• Conceptions of Area: In Students and in History
  
  • Bronislaw Czarnocha, Ed Dubinsky, Sergio Loch, Vrunda Prabhu and Draga Vidakovic
  • The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 2 (Mar., 2001), pp. 99-109
• Enter, Stage Center: The Early Drama of the Hyperbolic Functions
  
  • Janet Heine Barnett
  • Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 1 (Feb., 2004), pp. 15-30
• The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
  
  • Vito Lampret
  • Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
• An Euler Summation Formula
  
  • Irwin Roman
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21