자연상수 e는 초월수이다

증명

린데만-바이어슈트라스 정리를 사용하여 증명한다.

일반적으로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명하자.

<math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하면면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.

<math>\alpha=1</math> 인 경우로부터, <math>e</math>가 초월수임을 얻는다.

관련된 항목들

• 자연상수 e