"자연수의 분할수(integer partitions)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
이 항목의 스프링노트 원문주소==
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]] | * [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]] | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | ==개요 | + | ==개요== |
* 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함. | * 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함. | ||
| 20번째 줄: | 20번째 줄: | ||
| − | ==수가 작은 경우의 분할수 | + | ==수가 작은 경우의 분할수== |
n p(n) | n p(n) | ||
| 33번째 줄: | 33번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">생성함수 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">생성함수== |
* 분할수의 [[생성함수]]는 무한곱으로 표현가능<br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math><br> | * 분할수의 [[생성함수]]는 무한곱으로 표현가능<br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math><br> | ||
| 45번째 줄: | 45번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">분할수의 점화식 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">분할수의 점화식== |
* 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨<br><math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math><br> | * 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨<br><math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math><br> | ||
| 77번째 줄: | 77번째 줄: | ||
| − | ==분할수가 만족시키는 합동식 | + | ==분할수가 만족시키는 합동식== |
* 라마누잔의 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br> | * 라마누잔의 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br> | ||
| 86번째 줄: | 86번째 줄: | ||
| − | ==분할수의 근사공식 | + | ==분할수의 근사공식== |
<math>p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math> | <math>p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math> | ||
| 98번째 줄: | 98번째 줄: | ||
| − | ==메모 | + | ==메모== |
* [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/PIMS/PIMSLectures.pdf ][http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/PIMS/PIMSLectures.pdf http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf] | * [http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/PIMS/PIMSLectures.pdf ][http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/PIMS/PIMSLectures.pdf http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf] | ||
| 106번째 줄: | 106번째 줄: | ||
| − | ==재미있는 사실 | + | ==재미있는 사실== |
| 112번째 줄: | 112번째 줄: | ||
| − | ==관련된 고교수학 또는 대학수학 | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== |
* [[일변수미적분학]] | * [[일변수미적분학]] | ||
| 124번째 줄: | 124번째 줄: | ||
| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[라마누잔(1887- 1920)|라마누잔의 수학]] | * [[라마누잔(1887- 1920)|라마누잔의 수학]] | ||
| 138번째 줄: | 138번째 줄: | ||
| − | ==관련도서 및 추천도서 | + | ==관련도서 및 추천도서== |
* [http://www.amazon.com/Theory-Partitions-Encyclopedia-Mathematics-Applications/dp/052163766X The Theory of Partitions]<br> | * [http://www.amazon.com/Theory-Partitions-Encyclopedia-Mathematics-Applications/dp/052163766X The Theory of Partitions]<br> | ||
| 153번째 줄: | 153번째 줄: | ||
| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* [http://www.jstor.org/stable/3618767 Computations of the Partition Function]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/3618767 Computations of the Partition Function]<br> | ||
| 164번째 줄: | 164번째 줄: | ||
| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 172번째 줄: | 172번째 줄: | ||
| − | ==블로그 | + | ==블로그== |
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | ||
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q= | * 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q= | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:59 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요
- 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
- 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
- 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
- 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5 일곱가지 방법
- 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
- p(3)=3, p(5)=7
수가 작은 경우의 분할수
n p(n)
0 1
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
11 56
12 77
13 101
14 135
15 176
16 231
17 297
18 385
19 490
20 627
- 200까지의 분할수 목록
- 분할수가 상당히 빨리 증가함을 볼 수 있음
생성함수==
- 분할수의 생성함수는 무한곱으로 표현가능
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
- 분할수의 생성함수(오일러 함수) 항목을 참조
분할수의 점화식==
- 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
(증명)
오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자.
\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)
이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \) 의 역수이므로, 둘을 곱하여
\((\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\)
을 얻는다. 이로부터
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
를 얻을 수 있다. ■
- 예
- \(p(10)=42\)
- \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)
분할수가 만족시키는 합동식
- 라마누잔의 발견
\(p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\)
\(p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\)
\(p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\)
- 분할수가 만족시키는 합동식 항목 참조
분할수의 근사공식
\(p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\)
- 하디-라마누잔 분할수 공식 항목 참조
메모
재미있는 사실
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
- 라마누잔의 수학
- 데데킨트 에타함수
- Farey series
- 하디-라마누잔 분할수 공식
- 수학사연표
- 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
관련도서 및 추천도서
- The Theory of Partitions
- George E. Andrews
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Computations of the Partition Function
- P. Shiu, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52
- Euler's "De Partitio Numerorum"
- George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
- p(3)=3, p(5)=7
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
11 56
12 77
13 101
14 135
15 176
16 231
17 297
18 385
19 490
20 627
- 분할수의 생성함수는 무한곱으로 표현가능
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\)
- 분할수의 생성함수(오일러 함수) 항목을 참조
분할수의 점화식==
- 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
(증명)
오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자.
\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)
이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \) 의 역수이므로, 둘을 곱하여
\((\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\)
을 얻는다. 이로부터
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
를 얻을 수 있다. ■
- 예
- \(p(10)=42\)
- \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
- \(p(10)=42\)
- \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)
분할수가 만족시키는 합동식
- 라마누잔의 발견
\(p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\)
\(p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\)
\(p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\) - 분할수가 만족시키는 합동식 항목 참조
분할수의 근사공식
\(p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\)
- 하디-라마누잔 분할수 공식 항목 참조
메모
재미있는 사실
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
- 라마누잔의 수학
- 데데킨트 에타함수
- Farey series
- 하디-라마누잔 분할수 공식
- 수학사연표
- 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
관련도서 및 추천도서
- The Theory of Partitions
- George E. Andrews
- George E. Andrews
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Computations of the Partition Function
- P. Shiu, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52
- Euler's "De Partitio Numerorum"
- George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=