초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)
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개요
- 대칭다항식의 하나
- \(n\)개의 변수 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)에 대하여 다음과 같은 \(k\)-차 다항식 \(e_k\)를 초등 대칭 다항식이라 한다 \(1\leq k \leq n\)
\[e_k(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k} \label{ele}\]
- 근과 계수와의 관계에 등장한다
\[ \begin{cases} e_1(x_1,\cdots,x_n)= x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n\\ e_2(x_1,\cdots,x_n)=(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n\\ {} \quad \vdots \\ e_n(x_1,\cdots,x_n)=x_1 x_2 \dots x_n \end{cases} \]
메모
- 유한군 \(G\)의 \(n\)차원 표현 \(V\)이 주어졌을 때, \(\Lambda^k(V)\)의 지표를 \(V\)의 지표를 이용하여 계산하려면 초등 대칭 다항식이 필요하다
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