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2009년 11월 17일 (화) 18:51 판

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푸리에 변환

간단한 소개

아벨군 \(G\) 와 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 다음과 같이 정의
\(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)

유한아벨군의 경우

\(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

가우스합의 정의와의 비교

\(a\in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 곱셈에 대한 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

\(g_a(\chi) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} \chi(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

성질
\(g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)\)
\(\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}\)

실수의 경우

리 아벨군으로서의 \(G=\mathbb{R}\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
\(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)

푸리에 변환의 예

\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)

\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}\)

재미있는 사실

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참고할만한 자료

블로그

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 * [[푸리에 변환]]
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 *  아벨군 <math>G</math> 와 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) </math><br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">실수의 경우</h5>
-*  리 아벨으로서의 <math>G=\mathbb{R}</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">기본적인 성질</h5>
-<math>f(x)=e^{-\alpha x^2}</math>
-<math>\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
-<math>f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)</math>
-<math>\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}</math>
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 여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>
 * [[가우스 합|가우스합]]의 정의와의 비교<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">실수의 경우</h5>
+*  리 아벨군으로서의 <math>G=\mathbb{R}</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br>
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+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">푸리에 변환의 예</h5>
+<math>f(x)=e^{-\alpha x^2}</math>
+<math>\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
+<math>f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)</math>
-==== 하위페이지 ====
+<math>\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}</math>
-* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
-** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"> </h5>
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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
-*   <br>
 * [[유한군의 표현론]]<br>
 * [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]<br>