"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 14일 (월) 13:42 판

간단한 소개

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(a=1\) 인 경우, 리만제타함수와 리만가설가 됨

\(a=q/p\) 인 경우,

\(\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\)

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)

Hermite의 적분표현

\(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)

(정리) Lerch

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

(증명)

위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용 (증명끝)

베르누이 다항식과의 관계

정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)

\(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)

메모

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.

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 <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">베르누이 다항식과의 관계</h5>
+정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
+<math>n=0</math>이면 <math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x</math>

"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 14일 (월) 13:42 판

목차

간단한 소개

Hermite의 적분표현

베르누이 다항식과의 관계

메모

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