2차원 이징 모형 (사각 격자)
개요
해밀토니안과 분배함수
- $N\times M$ 격자의 이징 모형
- 분배함수는 다음과 같이 주어짐
$$ Z=\sum e^{-\beta H}=\sum_{s_{11},\cdots, s_{NM}}\exp \sum_{n,m} (K_1s_{n\,m}s_{n+1\,m}+K_2s_{n\,m}s_{n\,m+1}) $$
- 한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{n1},\cdots, s_{nM}\}$을 도입하면, 분배함수는 다음과 같이 쓰여진다
$$ Z_{N,M}=\sum_{S'_1,S_1,\cdots, S'_N,S_N} (V_1)_{S_1S'_2}(V_2)_{S_2S'_2}\cdots(V_1)_{S_NS'_1}(V_2)_{S_1S'_1} $$ 이 때, $$ (V_1)_{S_nS'_{n+1}}=\exp(K_1\sum_{m}s_{n\,m}s_{n+1\,m}), $$ $$ (V_2)_{S'_nS_{n}}=\exp(K_2\sum_{m}s_{n\,m}s_{n\,m+1})\prod_{m}\delta_{s_{n\,m}s'_{n\, m}} $$
- 1차원 이징 모형(Ising model)에서와 유사하게, $2^M\times 2^M$ 행렬 $V_1,V_2$를 다음과 같이 표현할 수 있다
$$ V_1 =(2\sinh 2K_1)^{M/2}\exp (K_1^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) $$ $$ V_2=\exp (K_2 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) $$ 여기서 $\tanh K_1^*=e^{-2K_1}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 파울리 행렬이라 하면, $m=1\cdots M$에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]
전달행렬과 전달행렬의 대각화
- 전달행렬은 $T=V_2^{1/2}V_1V_2^{1/2}$
- 요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)
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