3차 방정식의 근의 공식

개요

• 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식

카르다노의 해법

주어진 방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해, 다음과 같은 치환을 사용한다.

\(x = t - a/3\)

새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻는다. 여기서

\(p = b - \frac{a^2}3\) 이고 \(q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}\)

새로운 두 변수 u,v를 도입하자.

\(u + v = t\), \(uv = -p/3\)

다음 두 식을 만족시킨다.

\(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (1)\)

\( 3uv+p=0\)

식 (1)의 양변에 \(u^3\)를 곱하여, 이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

\(u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0 \quad (2)\)

\(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

\( u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)

한편, \(v^3\) 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다.

\(v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)

u, v는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

\(\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

여기서 \(\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\).

\(uv = -p/3\) 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다.

편의를 위해, 다음과 같이 A,B를 두자.

\(A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(t=u+v\)의 값은 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

\(A+B\)

\(\omega A+\omega^2 B\)

\(\omega^2 A+\omega B\)

\(x^3-3x+1\)의 예

• 방정식 \(x^3-3x+1=0\) 을 생각하자.
• \(p=-3,q=1\) 이므로,\[-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}\]\[-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}\]
  
• \(A=e^{2\pi i/9}\), \(B=e^{-2\pi i/9}\), \(\omega=e^{2\pi i /3}\)
• 방정식의 세 근은 \(A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B\) 는 \(2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)\) 가 된다.

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 근의 공식

• 세 근 $x_1,x_2,x_3$는 다음과 같이 표현된다

\[\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\]

역사

• 1545년 카르다노가 아르스 마그나》(Ars Magna) 를 출판
• 수학사 연표

메모

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

관련된 항목들

• 정칠각형
• 근의 공식과 라그랑지 resolvent
• 숫자 23과 다항식 x³-x+1

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWMwNmEzNTAtNDI3MS00NGY0LWExYTktN2ZmNzA1OWE5MGY3/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic+formula

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolvents
• http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_equation