"3차 방정식의 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
  
 
* 삼차방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 의 근의 공식
 
* 삼차방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 의 근의 공식
  
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<h5>카르다노의 해법</h5>
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주어진 방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 2차항을 없애기 위해,  다음과 같은 치환을 사용한다.
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==카르다노의 해법==
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주어진 방정식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math>의 2차항을 없애기 위해, 치환 <math>x = t - a/3</math>을 사용한다.
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<math>x = t - a/3</math>
 
  
 
새로운 방정식 <math>t^3 + pt + q = 0</math>을 얻는다. 여기서
 
새로운 방정식 <math>t^3 + pt + q = 0</math>을 얻는다. 여기서
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:<math>
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p = b - \frac{a^2}3
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\\q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}
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</math>
  
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<math>p = b - \frac{a^2}3</math> 이고 <math>q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}</math>
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새로운 두 변수 <math>u,v</math>를 다음과 같이 도입하자
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:<math>
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새로운 두 변수 u,v를 도입하자.
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u + v = t \\
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uv = -p/3
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<math>u + v = t</math>, <math>uv = -p/3</math>
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</math>
  
 
다음 두 식을 만족시킨다.
 
다음 두 식을 만족시킨다.
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:<math>u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \label{eq1}</math>
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:<math> 3uv+p=0</math>
  
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<math>u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (1)</math>
 
  
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<math> 3uv+p=0</math>
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식 \ref{eq1}의 양변에 <math>u^3</math>를 곱하여, 이로부터 <math>u</math>가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.
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:<math>u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\label{eq2}</math>
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이는 <math>u^3</math>에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.
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:<math>u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>
  
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한편, <math>v^3</math> 역시 방정식 \ref{eq2}의 해이므로, 다음을 얻는다.
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:<math>v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>
  
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식 (1)의 양변에 <math>u^3</math>를 곱하여, 이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.
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따라서 <math>u, v</math>는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.
  
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<math>u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0 \quad (2)</math>
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:<math>
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\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\\
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\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\
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\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\
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\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\
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\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\
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\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}
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</math>
  
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<math>u^3</math>에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.
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여기서 <math>\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i</math>.
  
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<math> u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>
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이제 <math>uv = -p/3</math> 임을 이용하면 <math>u</math>에 의해 <math>v</math>의 값이 결정된다.
  
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한편, <math>v^3</math> 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다.
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편의를 위해 <math>A,B</math>를 다음과 같이 두자.
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:<math>
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A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}
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\\B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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<math>t=u+v</math>는 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.
  
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<math>v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>
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:<math>
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A+B\\
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\omega A+\omega^2 B\\
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\omega^2 A+\omega B
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</math>
  
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u는 여섯개의 값을 가질 수 있으며, u에 의해 v의 값이 결정된다. 그리고 t=u+v 는 오직 세 개의 값만을 가질 수 있다.
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==<math>x^3-3x+1</math>의 예==
  
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* 방정식 <math>x^3-3x+1=0</math> 을 생각하자.
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* <math>p=-3,q=1</math> 이므로,:<math>-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}</math>:<math>-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}</math>
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* <math>A=e^{2\pi i/9}</math>, <math>B=e^{-2\pi i/9}</math>, <math>\omega=e^{2\pi i /3}</math>
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* 방정식의 세 근은 <math>A+B,\omega  A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega  B</math> 는 <math>2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)</math> 가 된다.
  
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<math>uv = -p/3</math> 을 이용하여, u,v 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
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==<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 근의 공식==
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* 세 근 <math>x_1,x_2,x_3</math>는 다음과 같이 표현된다
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:<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>
  
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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==역사==
  
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<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} ,  \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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* 1545년 카르다노가 아르스 마그나》(Ars Magna) 를 출판
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* [[수학사 연표]]
  
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==메모==
  
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
  
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<math>x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}</math>
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<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} ,  \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5>역사</h5>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
  
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<h5>메모</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[정칠각형]]
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* [[근의 공식과 라그랑지 resolvent]]
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* [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]]
  
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWMwNmEzNTAtNDI3MS00NGY0LWExYTktN2ZmNzA1OWE5MGY3/edit
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic+formula
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==사전 형태의 자료==
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolvents
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolvents
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_equation
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_equation
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/
 
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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===위키데이터===
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4392490 Q4392490]
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* [{'LEMMA': 'resolvent'}]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요

  • 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식



카르다노의 해법

주어진 방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해, 치환 \(x = t - a/3\)을 사용한다.

새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻는다. 여기서 \[ p = b - \frac{a^2}3 \\q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} \]

새로운 두 변수 \(u,v\)를 다음과 같이 도입하자 \[ u + v = t \\ uv = -p/3 \]

다음 두 식을 만족시킨다. \[u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \label{eq1}\] \[ 3uv+p=0\]


식 \ref{eq1}의 양변에 \(u^3\)를 곱하여, 이로부터 \(u\)가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다. \[u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\label{eq2}\] 이는 \(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다. \[u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\]

한편, \(v^3\) 역시 방정식 \ref{eq2}의 해이므로, 다음을 얻는다. \[v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\]

따라서 \(u, v\)는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

\[ \sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]

여기서 \(\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\).

이제 \(uv = -p/3\) 임을 이용하면 \(u\)에 의해 \(v\)의 값이 결정된다.

편의를 위해 \(A,B\)를 다음과 같이 두자. \[ A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \\B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\] \(t=u+v\)는 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

\[ A+B\\ \omega A+\omega^2 B\\ \omega^2 A+\omega B \]



\(x^3-3x+1\)의 예

  • 방정식 \(x^3-3x+1=0\) 을 생각하자.
  • \(p=-3,q=1\) 이므로,\[-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}\]\[-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}\]
  • \(A=e^{2\pi i/9}\), \(B=e^{-2\pi i/9}\), \(\omega=e^{2\pi i /3}\)
  • 방정식의 세 근은 \(A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B\) 는 \(2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)\) 가 된다.



\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 근의 공식

  • 세 근 \(x_1,x_2,x_3\)는 다음과 같이 표현된다

\[\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\]


역사

  • 1545년 카르다노가 아르스 마그나》(Ars Magna) 를 출판
  • 수학사 연표



메모

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'resolvent'}]
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