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| + | * 타원곡선이 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>로 주어지는 경우 모든 isogeny <math>\phi : E \to E</math> 의 집합 <math>\text{End}({E})</math> 는 환의 구조를 가지며,<math>\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}</math>가 성립한다<br> | ||
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| + | * 일반적인 타원곡선의 경우, <math>\text{End}({E})=\mathbb{Z}</math> 가 성립한다<br> | ||
| + | * <math>\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>인 경우, 즉 <math>\text{End}({E})</math>가 <math>\mathbb{Z}</math>를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 말한다<br> | ||
| + | * <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자<br><math>\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}</math>가 존재하여, <math>\alpha\cdot 1 \in\Lambda</math>이므로, <math>\alpha=m+n\tau</math> (<math>n \n eq 0 </math>)꼴로 쓰여진다<br> 한편 <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>가 성립하므로, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 <math>m, n, p, q</math>는 모두 정수. <br> 따라서 <math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0</math>이 만족된다.<br> 그러므로, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 가질 경우, <math>\tau</math> 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다<br> | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/complex_multiplication | * http://en.wikipedia.org/wiki/complex_multiplication | ||
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2012년 9월 24일 (월) 04:41 판
개요
uniformization
- 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자
\(\Lambda=\{m_ 1\omega_1+m_ 2\omega_2)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\) - 격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다
isogeny
- 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_ 1 \to E_ 2\)를 isogeny 라 한다
- 타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다
complex multiplication
- 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
- \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})\) 가 성립한다
- 일반적인 타원곡선의 경우, \(\text{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
- \(\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\text{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
- \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자
\(\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}\)가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n \n eq 0 \))꼴로 쓰여진다
한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우, \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다
역사
메모
ASPECTS OF COMPLEX MULTIPLICATION http://www.cems.uvm.edu/~voight/notes/274-Zagier.pdf
관련된 항목들
- 바이어슈트라스의 타원함수
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
- 타원적분의 singular value k
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
- Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
사전 형태의 자료